Transformation de Fortescue

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Tout système de grandeurs triphasées déséquilibré peut se mettre sous la forme de la somme de trois systèmes équilibrés (ou symétriques) :

  • un système équilibré direct noté Gd ;
  • un système équilibré inverse noté Gi ;
  • un système de tension homopolaire noté Go (en réalité une grandeur monophasée que l'on divise en 3 pour le calcul matriciel).

Systèmes triphasés homopolaires[modifier | modifier le code]

Comme expliqué précédemment, ce n'est pas vraiment un système triphasé car cela correspond à un système de 3 tensions en phase :

g_o = G_o\sin( \omega t+\varphi_o)
g_o = G_o\sin( \omega t+\varphi_o)
g_o = G_o\sin( \omega t+\varphi_o)

L'intérêt de ce « faux système triphasé » est de faciliter l'écriture matricielle de la transformation de Fortescue.

Matrice de transformation[modifier | modifier le code]

Le but est de trouver les valeurs de Gd, Gi et Go à partir de G1, G2 et G3.

Calcul de Go[modifier | modifier le code]

Comme la somme des trois grandeurs d'un système équilibré est nulle, on a forcément :

3 G_o\sin( \omega t+\varphi_o) = G_1\sin( \omega t+\varphi_1)+G_2\sin( \omega t+\varphi_2)+G_3\sin( \omega t+\varphi_3)

Opérateur de rotation : a[modifier | modifier le code]

Remarque : Une grandeur soulignée représente le nombre complexe associé à la grandeur sinusoïdale considérée.

C'est un nombre complexe de module 1 et d'argument \tfrac23\pi : \underline a = e^{j\frac23\pi}

Le résultat de sa multiplication par le nombre complexe associé à une grandeur correspond à une autre grandeur de même amplitude et déphasée de \tfrac23\pi par rapport à la grandeur initiale. Il correspond à une rotation de \tfrac23\pi dans le plan de Fresnel.

Il vérifie les propriétés suivantes :

  • \underline a^3 = 1
  • 1 + \underline a+ \underline a^2 = 0

Matrice de Fortescue[modifier | modifier le code]


\begin{bmatrix}
\underline G_1\\ 
\underline G_2\\
\underline G_3
\end{bmatrix}
= 
\begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 \\
1 & \underline a^2 & \underline a  \\
1 & \underline a & \underline a^2  \\
\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}
\underline G_o\\ 
\underline G_d\\
\underline G_i
 \end{bmatrix}

Matrice de Fortescue inverse[modifier | modifier le code]


\begin{bmatrix}
\underline G_o\\ 
\underline G_d\\
\underline G_i
\end{bmatrix}
= \frac13
\begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 \\
1 & \underline a & \underline a^2  \\
1 & \underline a^2 & \underline a  \\
\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}
\underline G_1\\ 
\underline G_2\\
\underline G_3
 \end{bmatrix}

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Liens internes[modifier | modifier le code]

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