Transformée de Stieltjes

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En mathématiques, la transformée de Stieltjes d'une mesure de densité ρ sur un intervalle I est une fonction de la variable complexe z, définie à l'extérieur de cet intervalle par la formule :

S_{\rho}\left(z\right)=\int_I\frac{\rho\left(t\right)}{z-t} \, \mathrm dt.

Sous certaines conditions on peut reconstituer la densité d'origine à partir de sa transformée grâce à la formule d'inversion de Stieltjes-Perron. Par exemple, si la densité ρ est continue sur I, on aura à l'intérieur de cet intervalle :

\rho\left(x\right)=\lim_{\varepsilon \to 0^{+}}\, \frac{S_{\rho}\left(x-{\rm i}\varepsilon\right)-S_{\rho}\left(x+{\rm i}\varepsilon \right)}{2{\rm i}\pi}.

Relations avec les moments de la mesure[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Problème des moments.

Si la mesure de densité ρ a des moments de tout ordre définis pour chaque entier naturel n par l'égalité :

c_n = \int_I t^n\rho\left(t\right)\,\mathrm dt,

alors la transformée de Stieltjes de ρ admet pour tout entier le développement asymptotique au voisinage de l'infini :

S_{\rho}\left(z\right)=\sum_{k=0}^{n}\frac{c_k}{z^{k+1}}+o\left(\frac{1}{z^{n+1}}\right).

Sous certaines conditions on obtient le développement en série de Laurent :

S_{\rho}\left(z\right)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{c_n}{z^{n+1}}.

Relations avec les polynômes orthogonaux[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Mesure secondaire.

La correspondance \left(f,g\right) \mapsto \int_I f\left(t\right)g\left(t\right) \, \mathrm dt définit un produit scalaire sur l'espace des fonctions à valeurs réelles continues sur I.

Si (Pn) désigne une suite de polynômes, orthonormale pour ce produit scalaire, avec Pn de degré n pour tout entier, on lui associe la suite des polynômes secondaires définis par la relation :

Q_n\left(x\right)=\int_I \frac{P_n \left(t\right)-P_n \left(x\right)}{t-x}\rho\left(t\right)\, \mathrm dt.

On montre alors que la fraction rationnelle F_n\left(z\right)=\frac{Q_n\left(z\right)}{P_n\left(z\right)} est un approximant de Padé de Sρ(z) au voisinage de l'infini, au sens où

S_\rho\left(z\right)-\frac{Q_n\left(z\right)}{P_n\left(z\right)}=O\left(\frac{1}{z^{2n}}\right).

Les deux suites de polynômes satisfaisant à une même relation de récurrence à trois termes successifs, on peut en déduire facilement un développement en fraction continue généralisée de la transformée de Stieltjes en question dont les réduites successives sont les fractions Fn(z).

La transformée de Stieltjes se révèle également un outil précieux pour construire à partir de ρ une mesure effective rendant les polynômes secondaires orthogonaux.

Références[modifier | modifier le code]