Transformée de Park

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Aller à : navigation, rechercher

La transformée de Park, souvent confondu avec la transformée dqo, est un outil mathématique utilisé en électrotechnique, et en particulier pour la commande vectorielle, afin de modéliser un système triphasé grâce à un modèle diphasé. Il s'agit d'un changement de repère. Les deux premiers axes dans la nouvelle base sont traditionnellement nommés d, q. Les grandeurs transformées sont généralement des courants, des tensions ou des flux.

Dans le cas d'une machine tournante, le repère de Park est fixé au rotor. Dans le repère de Park, les courants d'une machine synchrone ont la propriété remarquable d'être continus.

Transformée de Park[modifier | modifier le code]

Robert H. Park a proposé pour la première fois la transformée éponyme en 1929. En 2000, cet article a été classé comme étant la deuxième publication ayant eu le plus d'influence dans le monde de l'électronique de puissance au XXe siècle[1].

Soit a, b et c le repère initial d'un système triphasé. p, q et o est le repère d'arrivée. À titre d'exemple, la transformation est réalisée sur un courant, mais on peut l'utiliser pour transformer des tensions et des flux. La matrice de changement de repère est la suivante [2]:

i_{a'b'o} = Pi_{abc} = \frac{2}{3}\begin{bmatrix} \cos(\theta)&\cos(\theta - \frac{2\pi}{3})&\cos(\theta + \frac{2\pi}{3}) \\
-\sin(\theta)&-\sin(\theta - \frac{2\pi}{3})&-\sin(\theta + \frac{2\pi}{3}) \\
\frac{1}{2}&\frac{1}{2}&\frac{1}{2} \end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}i_a\\i_b\\i_c\end{bmatrix}

Et la matrice inverse :

i_{abc} = P^{-1}i_{a'b'o} = \begin{bmatrix}\cos(\theta)& -\sin(\theta)&1\\
\cos(\theta - \frac{2\pi}{3})& -\sin(\theta - \frac{2\pi}{3})&1\\
\cos(\theta + \frac{2\pi}{3})& -\sin(\theta + \frac{2\pi}{3})&1\end{bmatrix}\cdot
\begin{bmatrix}i_a'\\i_b'\\i_o\end{bmatrix}

La transformée de Park n'est pas unitaire. La puissance calculée dans le nouveau système n'est pas égale à celle dans le système initial[3].

Transformée dqo[modifier | modifier le code]

La transformée dqo est très similaire à la transformée de Park et est souvent confondu dans la littérature. Dqo veut dire « direct–quadrature–zero ». À la différence de la transformée de Park, elle conserve les valeurs des puissances invariées. La matrice de changement de repère est la suivante [3]:

i_{dqo} = Pi_{abc} = \sqrt{\frac{2}{3}}\begin{bmatrix} \cos(\theta)&\cos(\theta - \frac{2\pi}{3})&\cos(\theta + \frac{2\pi}{3}) \\
 - \sin(\theta)& - \sin(\theta - \frac{2\pi}{3})& - \sin(\theta + \frac{2\pi}{3}) \\
\frac{\sqrt{2}}{2}&\frac{\sqrt{2}}{2}&\frac{\sqrt{2}}{2} \end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}i_a\\i_b\\i_c\end{bmatrix}

La matrice inverse est :

i_{abc} = P^{-1}i_{dqo} = \sqrt{\frac{2}{3}}\begin{bmatrix}\cos(\theta)& - \sin(\theta)&\frac{\sqrt{2}}{2}\\
\cos(\theta - \frac{2\pi}{3})& - \sin(\theta - \frac{2\pi}{3})&\frac{\sqrt{2}}{2}\\
\cos(\theta + \frac{2\pi}{3})& - \sin(\theta + \frac{2\pi}{3})&\frac{\sqrt{2}}{2}\end{bmatrix} \cdot
\begin{bmatrix}i_d\\i_q\\i_o\end{bmatrix}

La transformée dqo donne une composante homopolaire, i_o égale à celle de Park multipliée par un facteur \sqrt{3}.

Principe[modifier | modifier le code]

Article détaillé : transformée de Clarke.

La transformée dqo permet dans un système triphasé équilibré de transformer trois quantités alternatives en deux quantités continues. Cela simplifie considérablement la résolution d'équations. Une fois la solution calculée, la transformation inverse est utilisée pour retrouver les grandeurs triphasées correspondantes.

La transformée de Park est reprend les principes de la transformée de Clarke, mais la pousse plus loin. Considérons un système de trois courants triphasés équilibrés:

 
\begin{align}
i_a(t)=&\sqrt{2}I\cos(\theta(t)),\\
i_b(t)=&\sqrt{2}I\cos\left(\theta(t)-\frac23\pi\right),\\
i_c(t)=&\sqrt{2}I\cos\left(\theta(t)+\frac23\pi\right).
\end{align}

I est la valeur effective du courant et \theta(t) l'angle. On pourrait tout aussi bien remplacer \theta(t) par \omega t sans perte de généralité. En appliquant la transformation de Clarke, on obtient :


\begin{align}
i_{\alpha}=&\sqrt2 I\cos\theta(t),\\
i_{\beta}=&\sqrt2 I\sin\theta(t),\\
i_o=&0.
\end{align}

La transformée de Park vise à supprimer le caractère oscillatoire de i_{\alpha} et i_{\beta} en effectuant une une rotation supplémentaire d'angle \theta par rapport à l'axe o.

L'idée est typiquement de faire tournée le repère à la vitesse du rotor de la machine tournante. Le repère de Clarke est fixé au stator , tandis que celui de Park est fixé au rotor. Cela permet de simplifier certaines équations électromagnétiques.

Interprétation géométrique[modifier | modifier le code]

Géométriquement la transformation de Park est une combinaison de rotations. En partant d'un espace en trois dimensions ayant pour axes orthogonaux a, b, et c.

Espace trois dimensions à trois axes orthogonaux  a, b, et c

Une rotation d'axe a d'angle -45° est effectuée. La matrice de rotation est la suivante :

\begin{bmatrix}1&0&0\\
0& \cos(- \pi/4)& \sin(- \pi/4)\\
0& -\sin(- \pi/4)& \cos(- \pi/4)\end{bmatrix}
,

Soit

\begin{bmatrix}1&0&0\\
0& \frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{-1}{\sqrt{2}}\\
0& \frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{1}{\sqrt{2}}\end{bmatrix}
.

On obtient donc le nouveau repère suivant :

Axes abc après une rotation autour de l'axe a

Une rotation d'axe b et d'angle 35.26° (\phi = \cos^{-1}{\sqrt{\frac{2}{3}}}) est ensuite effectué :

\begin{bmatrix}\cos(\phi)&0&-\sin(\phi)\\
0& 1& 0\\
\sin(\phi)& 0& \cos(\phi)\end{bmatrix}
,

Soit

\begin{bmatrix}\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}& 0& \frac{-1}{\sqrt{3}}\\
0& 1& 0\\
\frac{1}{\sqrt{3}}& 0& \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\end{bmatrix}
.

Axes abc après une nouvelle rotation autour de l'axe b cette fois

La composition de ces deux rotations a pour matrice :

\sqrt{\frac{2}{3}} \begin{bmatrix} 1&\frac{-1}{2}&\frac{-1}{2} \\
0& \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2}\\
\frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}& 0& \frac{-1}{\sqrt{3}}\\
0& 1& 0\\
\frac{1}{\sqrt{3}}& 0& \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\end{bmatrix}
\cdot
\begin{bmatrix}1&0&0\\
0& \frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{-1}{\sqrt{2}}\\
0& \frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{1}{\sqrt{2}}\end{bmatrix}

Cette matrice est appelée matrice de Clarke.

Les axes sont renommés α, β et z Les axes sont renommés α, β et z (noté o dans le reste de l'article). Ce dernier axe est à égales distances des trois axes initiaux a, b et c. Si le système initial est équilibré, la composante en z est donc nulle. Le système en est donc simplifié.

À partir de la transformée de Clarke, une rotation supplémentaire d'axe z et d'angle \theta.

\begin{bmatrix}\cos(\theta)&\sin(\theta)&0\\
-\sin(\theta)& \cos(\theta)& 0\\
0& 0& 1\end{bmatrix}
.

La matrice obtenue est celle de la transformée dqo :

\sqrt{\frac{2}{3}}\begin{bmatrix} \cos(\theta)&\cos(\theta - \frac{2\pi}{3})&\cos(\theta + \frac{2\pi}{3}) \\
 - \sin(\theta)& - \sin(\theta - \frac{2\pi}{3})& - \sin(\theta + \frac{2\pi}{3}) \\
\frac{\sqrt{2}}{2}&\frac{\sqrt{2}}{2}&\frac{\sqrt{2}}{2} \end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}\cos(\theta)&\sin(\theta)&0\\
-\sin(\theta)& \cos(\theta)& 0\\
0& 0& 1\end{bmatrix}
\cdot
\sqrt{\frac{2}{3}} \begin{bmatrix} 1&\frac{-1}{2}&\frac{-1}{2} \\
0& \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2}\\
\frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix}
.

On a donc un repère tournant à la vitesse \theta. Les axes du nouveau repère sont appelés d, pour direct, et q pour quadrature.

Transformée dqo appliquée à une machine synchrone. Les trois enroulements sont séparés géométriquement par des angles de 120°. Les trois courants sont égaux en amplitude et séparés électriquement de 120°. Les courants sont déphasés par rapport au tension d'un angle \delta. Les axes d-q tournent à une vitesse angulaire \omega par rapport au stator. Il s'agit de la même vitesse angulaire que celle des courants et tensions. L'axe d est séparé de l'enroulement A, choisi comme référence, d'un angle \theta = \omega t. Les courants I_d et I_q sont continus.

Dans le cas des machines synchrones, la transformée dqo a la propriété remarquable de rendre constantes les inductances dans le temps[1].

Application[modifier | modifier le code]

Exemple d'utilisation des transformées de Clarke et de Park dans une commande vectorielle.

La transformation dqo est très utilisée pour résoudre des problèmes liés aux machines synchrones et aux onduleurs triphasés.

Références[modifier | modifier le code]

  1. a et b (en) G. T. Heydt,, S. S. Venkata et N. Balijepalli, « High Impact Papers in Power Engineering, 1900-1999 », North American Power Symposium (NAPS) 2000,‎ , P-1 to P-7
  2. R.H. Park, « Two Reaction Theory of Synchronous Machines », AIEE Transactions, no 48,‎ , p. 716-730
  3. a et b (en) P.M. Anderson et A.A. Fouad, Power System Control and Stability, IEEE Press,‎ (ISBN 978-81-265-1818-0)

Voir aussi[modifier | modifier le code]