Transformée de Fourier à court terme

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La transformée de Fourier à court terme (TFCT), ou transformée de Fourier locale (en anglais Short-Time Fourier Transform (STFT)) ou encore transformée de Fourier à fenêtre glissante est une transformation liée aux transformées de Fourier utilisée pour déterminer la fréquence sinusoïdale et la phase d'une section locale d'un signal. Son module carré donne le spectrogramme.

Transformée de Fourier locale[modifier | modifier le code]

Transformée de Fourier locale continue[modifier | modifier le code]

Dans le cas continu, la fonction à transformer est multipliée par une autre fonction qui n'est pas nulle seulement pour une petite période de temps (une fonction à support compact ou a décroissance rapide dite fenêtre). Mathématiquement elle s'écrit :

 \mathbf{STFT} \left \{ x( t ) \right \} \equiv X(\tau, \omega) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) w(t-\tau) e^{-j \omega t} \, dt

 w est la fonction de fenêtrage.

Transformée de Fourier locale discrète[modifier | modifier le code]

La transformée de Fourier locale discrète est définie par :

 \mathbf{STFT} \left \{ x[ n ] \right \} \equiv X(m,\omega) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n]w[n-m]e^{-j \omega n}

Transformée de Fourier locale inverse[modifier | modifier le code]

La transformée de Fourier locale est inversible, le signal d'origine peut être retrouvé en appliquant à la transformée la transformée de Fourier locale inverse.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Transformée en ondelettes discrète