Transformée de Fourier-Mukai

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La transformée de Fourier-Mukai est un analogue en géométrie algébrique de la transformée de Fourier usuelle utilisée en analyse.

Définition[modifier | modifier le code]

Soit X une variété abélienne et \hat X sa variété abélienne duale. On note \mathcal P le fibré de Poincaré sur X \times \hat X, normalisé de façon à être trivial sur les fibres X \times 0 et 0 \times \hat X. Soient p et \hat p les projections canoniques.

Le foncteur de Fourier-Mukai est défini par :

R\mathcal S: \mathcal F \in D(X) \mapsto R\hat p_\ast (p^\ast \mathcal F \otimes \mathcal P) \in D(\hat X)

On a un foncteur similaire en sens inverse R\widehat{\mathcal S} : D(\hat X) \to D(X).

Propriétés[modifier | modifier le code]

Soit g la dimension de X.

On a une propriété d'involutivité  :

R\mathcal S \circ R\widehat{\mathcal S} = (-1)^\ast [-g]

La transformée de Fourier-Mukai échange (au degré près) le produit de Pontryagin et le produit tensoriel :

R\mathcal S(\mathcal F \ast \mathcal G)  = R\mathcal S(\mathcal F) \otimes R\mathcal S(\mathcal G)
R\mathcal S(\mathcal F \otimes \mathcal G)  = R\mathcal S(\mathcal F) \ast R\mathcal S(\mathcal G)[g]

Références[modifier | modifier le code]

  • Shigeru Mukai, Duality between D(X) and D(\hat X) with its application to Picard sheaves, Nagoya Mathematical Journal 81, 153-175, ISSN 0027-7630 (1981)