Transformée de Clarke

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La transformée de Clarke, est un outil mathématique utilisé en électrotechnique afin de modéliser un système triphasé grâce à un modéle diphasé

Un système triphasé constitué de bobines et de courants déphasés entre eux de \frac{2\pi}{3} permet de créer un champ tournant à la vitesse \omega. Un système diphasé constitué de deux bobines perpendiculaires l'une par rapport à l'autre et parcourues par des courants déphasés entre eux de \pi/2 permet de créer un champ tournant à la vitesse \omega.

Matrice de transformation[modifier | modifier le code]

Le but est de trouver les valeurs de x_{\alpha} et x_{\beta} à partir de x_{a} , x_{b} et x_{c}. On peut modéliser le champ tournant créé par système triphasé par un système diphasé grâce aux transformations suivantes :




\begin{bmatrix}
x_\alpha\\
x_\beta
\end{bmatrix}
=
C_{23}

\begin{bmatrix}
x_a\\ 
x_b\\
x_c
\end{bmatrix}

\quad et \quad

\begin{bmatrix}
x_a\\ 
x_b\\
x_c
\end{bmatrix}
=
C_{32}
\begin{bmatrix}
x_\alpha\\
x_\beta
\end{bmatrix}

Pour résoudre ce système, l’axe 0_a et 0_{\alpha} sont choisis parallèles à l’axe des réels. L’axe 0_{\beta} est généralement choisi indirect par rapport à l’axe 0_{\alpha} . Ce n’est qu’une convention qui inverse les signes de la seconde colonne.

Ainsi , 
\begin{bmatrix}
0_a\\
0_b\\
0_c
\end{bmatrix} 
 =
\begin{bmatrix}
1\\
e^{j\frac{2\pi}{3}}\\
e^{-j\frac{2\pi}{3}}
\end{bmatrix} 
\quad et \quad
\begin{bmatrix}
0_{\alpha}\\
0_{\beta}
\end{bmatrix} 
 =
\begin{bmatrix}
1\\
-j
\end{bmatrix}

Trouver les matrices C_{32} et C_{23} revient à résoudre le système matriciel suivant : 

\begin{bmatrix}
1\\
-j
\end{bmatrix} 
=
C_{23}

\begin{bmatrix}
1\\
e^{j\frac{2\pi}{3}}\\
e^{-j\frac{2\pi}{3}}
\end{bmatrix} 

\quad et \quad

\begin{bmatrix}
1\\
e^{j\frac{2\pi}{3}}\\
e^{-j\frac{2\pi}{3}}
\end{bmatrix} 
=
C_{32}
\begin{bmatrix}
1\\
-j
\end{bmatrix}

Ce qui donne : 

C_{23}
=\frac{2}{3}
\begin{bmatrix}
1 & -\frac{1}{2}  & -\frac{1}{2}  \\
0 &  \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2}
\end{bmatrix} 



\quad et \quad

 C_{32}
=
\begin{bmatrix}
1 & 0 \\
-\frac{1}{2} &  \frac{\sqrt{3}}{2} \\
-\frac{1}{2}  & -\frac{\sqrt{3}}{2} 
\end{bmatrix} 

.

Avec \forall x\quad x_a+x_b+x_c=0

Il existe aussi une transformation de Concordia qui est la même que celle de Clarke mais qui est normée.

Électrotechnique[modifier | modifier le code]

Une composante homopolaire  x_0 est rajoutée afin de prendre en compte un système déséquilibré. La composante homopolaire est la somme des trois grandeurs divisée par trois dans la théorie des composants symétriques x_0 =\frac{1}{3}(x_a+x_b+x_c).


\begin{bmatrix}
x_a \\
x_b \\
x_c
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 1\\
-\frac{1}{2} &  \frac{\sqrt{3}}{2} & 1 \\
-\frac{1}{2}  & -\frac{\sqrt{3}}{2} &  1
\end{bmatrix} 
\begin{bmatrix}
x_\alpha\\
x_\beta \\
x_0
\end{bmatrix}

Associée à la transformée de Park, permettant de représenter le système triphasé dans un repère tournant, la transformation Park-Clark devient :


\begin{bmatrix}
x_d \\
x_q
\end{bmatrix}
=
\frac{2}{3}
\begin{bmatrix}
cos(\theta) & cos(\theta-\frac{2.\pi}{3}) & cos(\theta-\frac{4.\pi}{3})\\
-sin(\theta) & -sin(\theta-\frac{2.\pi}{3}) & -sin(\theta-\frac{4.\pi}{3})
\end{bmatrix} 
\begin{bmatrix}
x_a \\
x_b \\
x_c
\end{bmatrix}

Noter que la transformée de Park-Clark assure la conservation des amplitudes des grandeurs, mais pas des puissances électriques, à la différence de la transformée de Park-Concordia.

Noter également que l'amplitude d'un vecteur dans le repère de Park ne dépend pas de l'angle \theta, et peut être obtenu par la formule suivante :


\begin{vmatrix}
x_d \\
x_q
\end{vmatrix}
= x_a^2+x_b^2+x_c^2-x_a.x_b-x_a.x_c-x_b.x_c

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Liens internes[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]