Transformée de Clarke

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La transformée de Clarke modélise une machine tournante à trois enroulements alimentés par des courants triphasés par deux enroulements perpendiculaires fixes, alimentés par des courants sinusoïdales

La transformée de Clarke, est un outil mathématique utilisé en électrotechnique, et en particulier pour la commande vectorielle, afin de modéliser un système triphasé grâce à un modèle diphasé. Il s'agit d'un changement de repère. Les deux premiers axes dans la nouvelle base sont traditionnellement nommés α, β. Les grandeurs transformées sont généralement des courants, des tensions ou des flux.

Dans le cas d'une machine synchrone, le repère de Clarke est fixé au stator.

La transformée de Concordia, est très similaire à la transformée de Clarke à la différence qu'elle est unitaire. Les puissances calculées dans après transformation sont donc les mêmes que dans le système initial, ce qui n'est pas le cas pour la transformée de Clarke.

Transformée de Clarke[modifier | modifier le code]

Matrices de Clarke[modifier | modifier le code]

Edith Clarke a proposé la transformation en 1951[1]. Soit a, b et c le repère initial d'un système triphasé. α, β et o est le repère d'arrivée. La matrice de Clarke vaut :

i_{\alpha\beta o}(t) = Pi_{abc}(t) = \frac{2}{3}\begin{bmatrix} 1 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ 
0 & \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ 
\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ 
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}i_a(t)\\i_b(t)\\i_c(t)\end{bmatrix}

La matrice inverse est :

i_{abc}(t) = P^{-1}i_{\alpha\beta o}(t) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1\\
-\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} & 1\\
-\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} & 1\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}i_\alpha(t)\\i_\beta(t)\\i_o(t)\end{bmatrix}

L’axe 0_{\beta} est indirect par rapport à l’axe 0_{\alpha} .

Intérêt[modifier | modifier le code]

Considérons un système de trois courants triphasés équilibrés:

 
\begin{align}
i_a(t)=&\sqrt{2}I\cos(\theta(t)),\\
i_b(t)=&\sqrt{2}I\cos\left(\theta(t)-\frac23\pi\right),\\
i_c(t)=&\sqrt{2}I\cos\left(\theta(t)+\frac23\pi\right).
\end{align}

I est la valeur effective du courant et \theta(t) l'angle. On pourrait tout aussi bien remplacer \theta(t) par \omega t sans perte de généralité. En appliquant la transformation de Clarke, on obtient :


\begin{align}
i_{\alpha}=&\sqrt2 I\cos\theta(t),\\
i_{\beta}=&\sqrt2 I\sin\theta(t),\\
i_o=&0.
\end{align}

i_o est nul dans le cas d'un système triphasé équilibré. Les problèmes de dimension trois se réduisent donc à des problèmes de dimension deux. L'amplitude des courants i_{\alpha} et i_{\beta} est la même que celles des courants i_a, i_b et i_c.

Forme simplifiée[modifier | modifier le code]

i_o étant nul dans le cas d'un système triphasé équilibré, une forme simplifiée de la transformée dans ce cas est [2]:

i_{\alpha\beta}(t) = \frac23 \begin{bmatrix} 1 & -\frac12 & -\frac12\\ 
0 & \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2}
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}i_a(t)\\i_b(t)\\i_c(t)\end{bmatrix}

La matrice inverse vaut alors :

i_{abc}(t) = \frac32\begin{bmatrix} \frac23 & 0 \\
-\frac{1}{3} & \frac{\sqrt{3}}{3} \\
-\frac{1}{3} & -\frac{\sqrt{3}}{3} \end{bmatrix}
\begin{bmatrix}i_\alpha(t)\\i_\beta(t)\end{bmatrix}

Interprétation géométrique[modifier | modifier le code]

Géométriquement la transformation de Clarke est une combinaison de rotations. En partant d'un espace en trois dimensions ayant pour axes orthogonaux a, b, et c.

Espace trois dimensions à trois axes orthogonaux  a, b, et c

Une rotation d'axe a d'angle -45° est effectuée. La matrice de rotation est la suivante :

\begin{bmatrix}1&0&0\\
0& \cos(- \pi/4)& \sin(- \pi/4)\\
0& -\sin(- \pi/4)& \cos(- \pi/4)\end{bmatrix}

Soit

\begin{bmatrix}1&0&0\\
0& \frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{-1}{\sqrt{2}}\\
0& \frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{1}{\sqrt{2}}\end{bmatrix}

On obtient donc le nouveau repère suivant :

Axes abc après une rotation autour de l'axe a

Une rotation d'axe b et d'angle 35.26° (\phi = \cos^{-1}{\sqrt{\frac{2}{3}}}) est ensuite effectué :

\begin{bmatrix}\cos(\phi)&0&-\sin(\phi)\\
0& 1& 0\\
\sin(\phi)& 0& \cos(\phi)\end{bmatrix}

Soit

\begin{bmatrix}\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}& 0& \frac{-1}{\sqrt{3}}\\
0& 1& 0\\
\frac{1}{\sqrt{3}}& 0& \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\end{bmatrix}

Axes abc après une nouvelle rotation autour de l'axe b cette fois

La composition de ces deux rotations a pour matrice :

\sqrt{\frac{2}{3}} \begin{bmatrix} 1&\frac{-1}{2}&\frac{-1}{2} \\
0& \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2}\\
\frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}& 0& \frac{-1}{\sqrt{3}}\\
0& 1& 0\\
\frac{1}{\sqrt{3}}& 0& \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\end{bmatrix}
\cdot
\begin{bmatrix}1&0&0\\
0& \frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{-1}{\sqrt{2}}\\
0& \frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{1}{\sqrt{2}}\end{bmatrix}

Cette matrice est appelée matrice de Clarke.

Les axes sont renommés α, β et z Les axes sont renommés α, β et z. Ce dernier axe est à égales distances des trois axes initiaux a, b et c. Si le système initial est équilibré, la composante en z est donc nulle. Le système en est donc simplifié.

Transformée de Concordia[modifier | modifier le code]

La transformée de Clarke n'est pas unitaire, les puissances actives et réactives calculées dans le nouveau système n'ont donc pas les mêmes valeurs que dans le système initial. La matrice de Concordia vaut :

i_{\alpha\beta o}(t) = Pi_{abc}(t) = \sqrt{\frac{2}{3}}\begin{bmatrix} 1 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ 
0 & \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ 
\frac{1}{\sqrt2} & \frac{1}{\sqrt2} & \frac{1}{\sqrt2} \\ 
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}i_a(t)\\i_b(t)\\i_c(t)\end{bmatrix}

La matrice inverse de Concordia est égale à la transposée de la matrice Concordia[3] :


i_{abc}(t) = P^{-1}i_{\alpha\beta o}(t) = \sqrt{\frac{2}{3}}\begin{bmatrix} 1 & 0 & \frac{\sqrt{2}}{2} \\ 
-\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \\ 
-\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \\ 
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}i_\alpha(t)\\i_\beta(t)\\i_o(t)\end{bmatrix}

Si les puissances sont conservées, les amplitudes des grandeurs initiales ne le sont pas. Dans le détail :


\begin{align}
i_{\alpha}=&\sqrt3 I\cos\theta(t),\\
i_{\beta}=&\sqrt3 I\sin\theta(t),\\
i_o=&0.
\end{align}

Transformation de Park[modifier | modifier le code]

La transformée de Park modélise une machine tournante à trois enroulements alimentés par des courants triphasés par deux enroulements perpendiculaires tournant avec le rotor, alimentés par des courants continus
Article détaillé : Transformée de Park.

La transformée de Park est reprend les principes de la transformée de Clarke, mais la pousse plus loin. Après la transformée de Clarke d'un système triphasé équilibré, on obtient le système suivant :


\begin{align}
i_{\alpha}=&\sqrt2 I\cos\theta(t),\\
i_{\beta}=&\sqrt2 I\sin\theta(t),\\
i_o=&0.
\end{align}

La transformée de Park vise à supprimer le caractère oscillatoire de i_{\alpha} et i_{\beta} en effectuant une une rotation supplémentaire d'angle \theta par rapport à l'axe o.

L'idée est typiquement de faire tournée le repère à la vitesse du rotor de la machine tournante. Le repère de Clarke est fixé au stator, tandis que celui de Park est fixé au rotor. Cela permet de simplifier certaines équations électromagnétiques.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Liens internes[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]

Références[modifier | modifier le code]

  1. (en) W. C. Duesterhoeft, Max W. Schulz et Edith Clarke, « Determination of Instantaneous Currents and Voltages by Means of Alpha, Beta, and Zero Components », Transactions of the American Institute of Electrical Engineers, vol. 70, no 2,‎ , p. 1248–1255 (ISSN 0096-3860, DOI 10.1109/T-AIEE.1951.5060554)
  2. (en) F. Tahri, A. Tahri, Eid A. AlRadadi et A. Draou Senior, Analysis and Control of Advanced Static VAR compensator Based on the Theory of the Instantaneous Reactive Power, Bodrum, ACEMP,‎
  3. (en) S. Chattopadhyay, M. Mitra et S. Sengupta, « Area Based Approach for Three Phase Power Quality Assessment in Clarke Plane », Journal of Electrical Systems, vol. 04, no 01,‎ , p. 62 (lire en ligne)