Topologie de l'ordre

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En mathématiques, la topologie de l'ordre est une topologie naturelle définie sur tout ensemble ordonné (E, ≤), et qui dépend de la relation d'ordre ≤.

Lorsque l'on définit la topologie usuelle de la droite numérique ℝ, deux approches équivalentes sont possibles. On peut se baser sur la relation d'ordre dans ℝ, ou sur la valeur absolue de la distance entre deux nombres. Les égalités ci-dessous permettent de passer de l'une à l'autre :

[x-r,x+r] = \{t\in\R\mid x-r\leq t\leq x+r\}=\{t\in\R\mid |x-t|\leq r\}.

La valeur absolue se généralise en la notion de distance, qui induit le concept de topologie d'un espace métrique. Nous nous intéressons ici à l'autre approche.

Topologie de l'ordre[modifier | modifier le code]

Soit (E,≤) un ensemble ordonné.

Appelons intervalle ouvert (au sens de l'ordre) de E un intervalle de la forme ]x, y[ pour deux éléments quelconques x et y de E, ou de la forme ]x, +∞[ ou ]–∞, x[ pour un élément quelconque x de E, ou encore ]–∞, +∞[, où ces quatre notations désignent, par définition :

]x,y[=\{t\in E\mid x<t<y\},\quad]x,+\infty[=\{t\in E\mid x<t\},\quad]-\infty,x[=\{t\in E\mid t<x\},\quad]-\infty,+\infty[=E

(+∞ et –∞ font donc partie des notations, et ne désignent aucun élément de E).

On appelle alors topologie de l'ordre[1] la topologie engendrée par les intervalles ouverts, c'est-à-dire la topologie la moins fine pour laquelle les intervalles ouverts sont ouverts. Elle admet comme prébase les intervalles ouverts et même, du fait que ]x, y[ = ]x, +∞[∩]–∞, y[, les intervalles ouverts admettant une « borne infinie ».

Si l'ordre sur E est partiel, cette topologie peut servir à fabriquer des contre-exemples.

Lorsque (E, ≤) est totalement ordonné, l'intersection de deux intervalles ouverts est toujours un intervalle ouvert. Par conséquent, les intervalles ouverts forment une base de la topologie[1] ; en clair : une partie de E est ouverte si et seulement si elle est une réunion d'intervalles ouverts. Cette topologie est alors séparée et même complètement normale[2],[3].

Topologie droite[modifier | modifier le code]

Soit (E, ≤) un ensemble ordonné.

Commençons par remarquer que [x,+\infty[\cap[y,+\infty[ = \cup_{x\le t\text{ et }y\le t} [t,+\infty[

Les intervalles de la forme [x, +∞[ forment donc une base pour une topologie sur E, appelée parfois topologie de l'ordre à droite ou topologie droite[4]. Ses ouverts sont les sections finissantes de l'ordre.

C'est le cas particulier de la topologie d'Alexandroff associée à un préordre, lorsque ce préordre est un ordre, autrement dit lorque la topologie associée vérifie la propriété T0 (la plus faible des propriétés de séparation).

Topologie stricte à droite[modifier | modifier le code]

Lorsque (E, ≤) un ensemble totalement ordonné, on peut définir une variante de la topologie ci-dessus.

L'ordre étant total, les intervalles de la forme ]x, +∞[ (auxquels il faut rajouter E si E admet un plus petit élément) forment une base pour une topologie.

Une fonction f à valeurs dans est semi-continue inférieurement si et seulement si, lorsque est muni de cette topologie, f est continue[5].

Exemples[modifier | modifier le code]

  • La topologie de l'ordre usuel sur ℝ est la topologie usuelle.
  • La topologie de l'ordre sur = {–∞}∪ℝ∪{+∞}[6] (isomorphe à [–1, 1] muni de l'ordre usuel) est la topologie de la droite réelle achevée (homéomorphe à [–1, 1] muni de la topologie usuelle).
  • La topologie de l'ordre usuel sur ℕ est la topologie discrète (c'est aussi la topologie usuelle).
  • La topologie de l'ordre sur ℕ∪{+∞}⊂ est le compactifié d'Alexandrov [0, ω] de [0, ω[ = ℕ muni de la topologie discrète.
  • Pour l'ordre partiel de divisibilité sur ℕ*, la topologie de l'ordre est la topologie discrète.

Propriétés[modifier | modifier le code]

  • Un ensemble totalement ordonné muni de la topologie de l'ordre est compact si et seulement si c'est un treillis complet[7], c'est-à-dire si toute partie admet une borne supérieure (ou ce qui est équivalent, si toute partie admet une borne inférieure).
  • En particulier, pour tout ordinal α, le segment d'ordinaux [0, α] est compact. En notant Ω le plus petit ordinal non dénombrable, l'intervalle d'ordinaux [0, Ω[ est séquentiellement compact mais non compact.
  • Si Y est un sous-ensemble de l'ensemble ordonné X, l'ordre induit sur Y le munit d'une topologie (la topologie induite pour l'ordre). Cette topologie est moins fine que la topologie induite usuelle, mais ne lui est pas identique en général : dans le sous-ensemble des réels Y = {–1} ∪ {1/n | n∈ℕ*}, le singleton {–1} est ouvert pour la topologie induite, mais pas pour la topologie induite pour l'ordre, puisque la suite des 1/n converge vers –1 pour cette dernière topologie.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. a et b Laurent Schwartz, Analyse I : Théorie des ensembles et topologie, 1991, Hermann, p. 140-141.
  2. (en) Niel Shell, Topological Fields and Near Valuations, CRC Press,‎ 1990 (ISBN 978-0-82478412-6, lire en ligne), p. 179-180.
  3. Voir l'article Espace monotonement normal.
  4. N. Bourbaki, Éléments de mathématique, livre III : Topologie générale [détail des éditions], chap. I, p. 89, ex. 2.
  5. Claude Berge, Espaces topologiques : Fonctions multivoques, vol. 3, Dunod,‎ 1966, 2e éd., p. 80.
  6. Dans cet exemple, les symboles –∞ et +∞ étant traditionnellement réservés pour désigner le plus petit et le plus grand élément de , il ne faut plus noter ]x, +∞[ et ]–∞, x[ les intervalles ouverts qui constituent la prébase, mais ]x, +∞] et [–∞, x[.
  7. (en) Lynn Arthur Steen et J. Arthur Seebach, Jr., Counterexamples in Topology, Dover,‎ 1995 (ISBN 978-0-486-68735-3), p. 67

Articles connexes[modifier | modifier le code]