Topologie cohérente

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La topologie cohérente est fréquemment utilisée en topologie algébrique, notamment en lien avec les limites inductives.

Ce vocable désigne à la fois une méthode assez générale pour construire une topologie mais aussi une topologie particulière des espaces vectoriels réels de dimension infinie.

Topologie cohérente[modifier | modifier le code]

Soit X un espace topologique et (Ai)iI une famille de sous-espaces de X. On appelle topologie cohérente déterminée par la famille (Ai)iI la topologie la plus fine qui rende continues les injections canoniques ji : AiX (topologie finale).

Cette topologie était anciennement appelée topologie faible. Or il se trouve que la topologie cohérente est plus fine que la topologie d'origine de l'espace X alors que la topologie faible d'un espace vectoriel topologique, elle, est moins fine que la topologie originelle. La topologie faible est une topologie initiale alors que la topologie cohérente est finale. Il est donc préférable de moderniser le vocabulaire. On gardera en mémoire que la lettre W dans le mot CW-complexe signifie weak, en référence à cette topologie.

Recouvrement fondamental[modifier | modifier le code]

Soit X un espace topologique et (Ai)iI une famille de sous-espaces de X. Si la topologie faible déterminée par la famille (Ai)iI est identique à la topologie d'origine, on dit que la topologie de X est cohérente avec la famille (Ai)iI.

Autrement dit la topologie de X cohérente avec la famille (Ai)iI lorsque les ouverts de X sont exactement les parties de X dont les intersections avec les Ai sont des ouverts de Ai.

En général, on utilise cette notion lorsque la famille (Ai)iI est un recouvrement de X. On appelle recouvrement fondamental de X un recouvrement de X tel que la topologie de X est cohérente avec ce recouvrement.

Exemples[modifier | modifier le code]

Topologie cohérente d'un espace vectoriel réel[modifier | modifier le code]

Soit E un espace vectoriel réel. On appelle topologie cohérente de E la limite inductive du système inductif formé par les sous-espaces vectoriels de dimension finie de E avec leur topologie usuelle, ordonné par l'inclusion, et muni des injections canoniques.

Avec les définitions ci-dessus, cette topologie est cohérente avec les sous-espaces de dimension finie de E, ce qui justifie le vocabulaire. Cette topologie est caractérisée par le fait qu'une partie de E est fermée si et seulement si son intersection avec les sous-espaces de dimension finie de E sont fermés. C'est la topologie usuelle des complexes cellulaires ou simpliciaux.

Lorsque E est de dimension dénombrable, l'espace vectoriel topologique obtenu est noté ℝ.

Bibliographie[modifier | modifier le code]

(en) Allen Hatcher, Algebraic Topology, CUP,‎ 2001 (ISBN 978-0-521-79540-1, lire en ligne)