Topologie cofinie

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La topologie cofinie est la topologie que l'on peut définir sur tout ensemble X de la manière suivante : l'ensemble des ouverts est constitué de l'ensemble vide et parties de X cofinies, c'est-à-dire dont le complémentaire dans X est fini. Formellement, si l'on note τ la topologie cofinie sur X, on a :

\tau=\{A\subset X\mid X\setminus A\mbox{ est fini ou }A=\varnothing\}

ou plus simplement, en définissant la topologie via les fermés :

les fermés de X sont X et ses parties finies.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Exemples[modifier | modifier le code]

Si X est une variété algébrique de dimension au plus 1, alors son espace topologique sous-jacent est cofini.

La topologie du spectre premier de l'anneau ℤ des entiers est strictement moins fine que la topologie cofinie, car le singleton constitué du point générique (correspondant à l'idéal nul) est fini mais pas fermé.

Variantes[modifier | modifier le code]

Référence[modifier | modifier le code]

(en) Lynn Arthur Steen et J. Arthur Seebach, Jr., Counterexamples in Topology, Dover,‎ 1995 (1re éd. Springer, 1978) (ISBN 978-0-486-68735-3) exemples 18,19,20.