Topologie cofinie

La topologie cofinie est la topologie que l'on peut définir sur tout ensemble $X$ de la manière suivante : l'ensemble des ouverts est constitué de l'ensemble vide et parties de $X$ cofinies, c'est-à-dire dont le complémentaire dans $X$ est fini. Formellement, si on note $\tau$ la topologie cofinie pour $X$, on a: $\tau=\{A\subset X, X\backslash A\mbox{ est fini ou }A=\empty\}$.

Remarques et propriétés

• Lorsque $X$ est fini, toute partie de $X$ est cofinie, donc appartient à $\tau$ : la topologie cofinie est en fait la topologie discrète sur $X$.
• La topologie induite sur $Y\subset X$ est la topologie cofinie sur $Y$.
• Tout espace muni de la topologie cofinie est quasi-compact (se montre aisément par la définition de la compacité), mais n'est séparé que si l'espace est fini.