Tirage (mathématiques)

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Dans le cadre d'exercices de probabilités, il est commun d'utiliser une urne dont l'intérieur est invisible et contenant des objets, parfois indiscernables au toucher, comme des boules numérotées ou colorées.

Tirage sans remise[modifier | modifier le code]

Soit une urne contenant N boules, dont m boules blanches. Les autres boules sont noires (il y en a donc N - m).

Considérons l'expérience suivante : tirer (sans remise) un échantillon de n boules.

La probabilité d'obtenir alors k boules blanches est donné par une loi hypergéométrique. Si on appelle X le nombre de boules blanches tirées, la probabilité d'en avoir k s'écrit P(X=k) et vaut :

p(X=k)=\frac{C_{m}^kC_{N-m}^{n-k}}{C_N^n}.

Ceci se comprend ainsi : le nombre de combinaisons correspondant à k boules blanches se calcule en multipliant le nombre de possibilités de tirage de k boules blanches parmi m (C_{m}^k) par le nombre de possibilités de tirage du reste, soit n-k boules noires parmi N-m (soit C_{N-m}^{n-k}). Il faut ensuite diviser ce nombre de possibilité par le nombre total de tirages (C_N^n) pour obtenir la probabilité cherchée.


Une question amusante[modifier | modifier le code]

Exposé du problème[modifier | modifier le code]

Il s'agit de retirer un objet et de le mettre de côté pour les tirages suivants. Ceci est à comparer avec la notion de tirage avec remise pour lequel on remet l'objet retiré.

exemple:

Une urne contient 60 boules blanches et 40 boules noires. Je ne vois pas ce qui est à l'intérieur. Je fais un premier tirage: Je tire par ex une boule noire. Je la mets alors de côté. Il me reste 99 boules dans l'urne dont 39 sont noires et 60 sont blanches. J'ai ainsi fait un premier tirage sans remise (car je n'ai pas remis la boule dans l'urne). Bien sur, je peux continuer et refaire un deuxième tirage sans remise. À l'issue de ce second tirage il restera 98 boules dans l'urne.

Questions: En probabilités, on peut se poser la question suivante: Quelle est la probabilité au bout d'un tirage sans remise que la boule tirée soit noire. La réponse est évidemment 40/100 ou si vous préférez 2/5. On peut aussi se poser une question un peu plus difficile: Quelle est la probabilité qu'au bout de deux tirages sans remise, on ait tiré deux boules noires. En, fait il y a une formule mathématique un peu rébarbative qui donne de manière générale des choses comme: On a fait 60 tirages successifs sans remise, quelle est la probabilité d'avoir obtenu 17 boules blanches et 44 boules noires.


On fait 100 tirages sans remise dans l'urne que l'on a décrite (on ne peut pas en faire plus) Quelle est la probabilité que la dernière boule tirée soit noire? Eh bien la réponse est très simple. Toujours 2/5.

Nous allons donner un énoncé général de ce résultat.

Une urne contient un certain nombre de boules blanches et un certain nombre de boules noires. On fait des tirages successifs sans remise jusqu'à ce que l'urne soit vide. Quelle est la probabilité que la dernière boule tirée soit noire? Réponse: C'est la même probabilité que pour que la première boule tirée soit noire.

Comment démontrer ce résultat ? Nous allons donner un argument (dans le cadre de l'exemple, mais qui se généralise de manière évidente. ) On numérote les boules blanches de 1 à 60 et les boules noires de 61 à 100.

Un effort d'imagination[modifier | modifier le code]

En fait avec cette modélisation, 100 tirages successifs sans remise équivaut à une suite des 100 premiers nombres dans un ordre arbitraire. On a un tas de possibilité mais toutes ces possibilités sont équivalentes (ou équiprobables).

Donc on devrait répondre directement aux genres de questions suivantes: Quelle est la probabilité que la boule 6 soit tirée au quatre-vingt dixième tirage? Réponse: 1/100.

La question initiale de la dernière boule devrait maintenant être évidente.

La généralisation de ce qui vient d'être dit est la notion d'échangeabilité du tirage sans remise.

Sans définir la notion, voici un exemple:

Quelle est la probabilité que je tire une boule blanche au 5e coup, une boule noire au 15e et une boule blanche au 60e. Eh bien c'est la même que de tirer une boule blanche au premier, une boule blanche au second et une boule noire au troisième.

Quelques autres remarques[modifier | modifier le code]

On a vu certaines analogies entre les tirages avec et sans remise. Par ex la probabilité de tirer une boule noire au sixième coup sont les mêmes pour les deux types de tirage. Le principe d'échangeabilité est vrai aussi pour les tirages avec remise mais il découle dans ce cas d'un principe d'indépendance des tirages qui est plus fort. le principe d'indépendance peut être compris de manière imagée comme le fait que dans un tirage avec remise, le second tirage par ex ne se souvient pas du premier. Ceci n'est pas vrai pour les tirages sans remise ( voir ci-dessous la remarque sur la corrélation).

Une différence évidente entre les deux types est qu'on ne peut pas faire plus de tirages sans remise qu'on a de boules dans l'urne, alors qu'on peut faire indéfiniment des tirages avec remise. Un autre point est que si dans un tirage sans remise, on tire noir la première fois, ça diminue vos chances de tirer noir la seconde fois. Ceci peut se traduire mathématiquement par le fait que dans un tirage sans remise, les deux premiers tirages sont négativement corrélés. Remarquez aussi que par le principe d'échangeabilité, ceci reste vrai pour deux tirages différents quelconques.

Un autre exemple de différence est le suivant. Vous avez une urne avec 19 boules blanches et une boule noire. Si vous faites une suite de tirages avec remise, il vous faut en moyenne tirer 20 fois avant que vous ne tiriez la boule noire. Pour un tirage sans remise, cette moyenne est de 10.5 tirages.

Tirage avec remise[modifier | modifier le code]

Il s'agit de retirer un objet, noter sa ou ses caractéristiques et le remettre dans l'urne. Ce problème est lié au problème d'occupation[1][2]qui consiste à jéter n boules dans k urnes différentes et ensuite compter le nombre d'urnes vides.

Exemple de tirage avec remise[modifier | modifier le code]

Pour une urne contenant k boules, la probabilité de les avoir toutes tirées au cours de n tirages successifs avec remise est de 
\sum_{i=0}^k (-1)^{k-i}{k \choose i} \left(\frac{i}{k}\right)^n

Pour 201 boules, c'est à partir de 1986 tirages que l'on obtient une probabilité d'au moins 99 % de les avoir toutes tirées (Voir la démonstration du cas général).

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. http://probabilityandstats.wordpress.com/2010/04/04/a-formula-for-the-occupancy-problem/
  2. Statistical Inference in the Classical Occupancy Problem Unbiased Estimation of the Number of Classes, Bernard Harris, Vol. 63, No. 323 (Sep., 1968), pp. 837-847