Théorème de Bernstein sur les fonctions totalement monotones

En analyse fonctionnelle, une branche des mathématiques, le théorème de Bernstein, établit que toute fonction à valeurs réelles sur la demi-droite [0, ∞) qui est totalement monotone est une combinaison (dans un cas important, une moyenne pondérée ou une espérance mathématique) d'exponentielles.

La monotonie totale (on dit aussi complète) d'une fonction f signifie que la relation :

$(-1)^{n}{\mathrm {d} ^{n} \over \mathrm {d} t^{n}}f(t)\geq 0$

est vérifée pour tous les entiers naturels n et tous les réels t ≥ 0. La moyenne pondérée peut alors être caractérisée : il existe une mesure de Borel positive ou nulle sur [0, ∞), avec une fonction de répartition g telle que :

$f(t)=\int _{0}^{\infty }e^{-tx}~\mathrm {d} g(x),$

l'intégrale étant une intégrale de Stieltjes.

Dans un langage plus abstrait, le théorème caractérise les transformées de Laplace des mesures de Borel positives sur [0,∞). Sous cette forme, il est connu sous le nom de théorème de Bernstein-Widder, ou de Hausdorff-Bernstein-Widder. Hausdorff, dans sa solution au problème des moments, avait déjà caractérisé les suites complètement monotones.

Références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Bernstein's theorem on monotone functions » (voir la liste des auteurs).
• S. N. Bernstein, « Sur les fonctions absolument monotones », dans Acta Math., 1928, p. 1-66
• (en) David Widder, The Laplace Transform, PUP, 1941

Lien externe

(en) Eric W. Weisstein, « Completely Monotonic Function », sur MathWorld