Théorème de Banach-Stone

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Ceci est une version archivée de cette page, en date du 10 mai 2014 à 10:44 et modifiée en dernier par Lotaki (discuter | contributions). Elle peut contenir des erreurs, des inexactitudes ou des contenus vandalisés non présents dans la version actuelle.

En mathématiques, le théorème de Banach-Stone, nommé d'après Stefan Banach et Marshall Stone, est un résultat d'analyse fonctionnelle selon lequel si deux espaces compacts ont le « même » espace vectoriel normé (à isomorphisme près) d'applications continues à valeurs complexes, alors ils sont homéomorphes.

Énoncé

Pour tout compact X, notons C(X) l'espace de Banach des applications continues (donc bornées) de X dans ℂ, muni de la norme de la convergence uniforme.

Pour tous compacts X et Y et toute isométrie linéaire surjective T : C(X) → C(Y), il existe un homéomorphisme φ : Y X et une application g C(Y) tels que

Remarques

Résumé de preuve

D'après le théorème de représentation de Riesz, le dual de C(X) est l'espace de Banach M(X) des mesures de Borel complexes (en) quasi-régulières, muni de la norme de la variation totale.

L'application qui à x associe la mesure de Dirac δx est un homéomorphisme, de X dans M(X) muni de la topologie faible-*[5].

L'ensemble des points extrémaux de la boule unité de M(X) est l'ensemble des multiples de mesures de Dirac par des complexes de module 1 et l'application adjointe T* : M(Y) → M(X) est, comme T, une isométrie surjective donc une bijection entre ces points extrémaux pour X et leurs analogues pour Y. On peut donc définir une fonction g à valeurs dans les complexes de module 1 et une bijection φ en posant

La continuité faible-* de T* garantit la continuité de g et φ. Par bijectivité et compacité, φ est donc un homéomorphisme.

Notes et références

  1. (en) John B. Conway (en), A Course in Functional Analysis, Springer, coll. « GTM » (no 96), , 2e éd. (ISBN 978-0-38797245-9, lire en ligne), chap. VI, § 2 (« The Banach-Stone Theorem »)
  2. (en) Richard J. Fleming et James E. Jamison, Isometries on Banach Spaces: function spaces, CRC Press, (ISBN 978-1-42002615-3, lire en ligne), chap. 2 (« Continuous Function Spaces – The Banach-Stone Theorem »)
  3. (en) R. K. Singh, « Banach-Stone Theorem and its Generalizations », dans R. S. Pathalk Nandlal, Analysis and Applications, Allied Publishers (en), (ISBN 978-8-17764600-9, lire en ligne), p. 31-42
  4. (en) Ehrhard Behrends, « Isomorphic Banach-Stone theorems and isomorphisms which are close to isometries », Pacific J. Math., vol. 133, no 2,‎ , p. 229-250 (lire en ligne)
  5. Remarque : si un espace vectoriel normé est séparable alors la boule unité de son dual, munie de la topologie faible-*, est métrisable ; par conséquent, si C(X) est séparable alors X est métrisable.

Articles connexes