Théorème d'Ostrowski

En mathématiques, le théorème d'Ostrowski est un théorème, nommé en l'honneur du mathématicien Alexander Ostrowski, d'après lequel toute valeur absolue non triviale sur le corps ℚ des rationnels est topologiquement équivalente soit à la valeur absolue usuelle, soit à l'une des valeurs absolues p-adiques.

Plus précisément et plus généralement, le théorème d'Ostrowski énonce que les seules valeurs absolues non ultramétriques sur un corps K sont (s'il en existe) les applications de la forme x ↦ |f(x)|^c, où f est un plongement de K dans le corps des complexes, et 0 < c ≤ 1. Or les valeurs absolues ultramétriques sur K sont celles induites par une valuation réelle, et pour K = ℚ les valuations réelles sont les valuations p-adiques.

Valeur absolue

Soit K un corps. Une valeur absolue (encore appelée norme de corps) sur K est une application | ∙ | de K dans l'ensemble des réels positifs, vérifiant

1. $\forall x\in K,\ |x|=0\Longleftrightarrow x=0~;$
2. $\forall (x,y)\in K^{2},\ |x\times y|=|x|\times |y|~;$
3. $\forall (x,y)\in K^{2},\ |x+y|\leq |x|+|y|.$

Si la valeur absolue vérifie la condition $\forall (x,y)\in K^{2},\ |x+y|\leq \max(|x|,|y|),$ plus forte que la condition 3, alors la valeur absolue est dite ultramétrique.

Valeur absolue triviale

La valeur absolue triviale | ∙ |₀ sur ℚ est définie par $|x|_{0}={\begin{cases}0&{\text{si }}x=0\\1&{\text{si }}x\neq 0.\end{cases}}$

Valeur absolue usuelle

La valeur absolue usuelle | ∙ |_∞ sur ℚ est définie par $|x|_{\infty }={\begin{cases}x&{\text{si }}x\geq 0\\-x&{\text{si }}x<0.\end{cases}}$

Valeur absolue p-adique

Pour un nombre premier p fixé, tout rationnel non nul x s'écrit de manière unique sous la forme

$x=p^{n}{\frac {a}{b}}{\text{ avec }}n,a,b\in \mathbb {Z} ,b>0,a\land b=1,p\not |a,p\not |b.$

L'entier n est la valuation p-adique de x. La valeur absolue p-adique | ∙ |_p sur ℚ est alors définie par $|x|_{p}={\begin{cases}0&{\text{si }}x=0\\p^{-n}&{\text{si }}x\neq 0.\end{cases}}$

Elles sont toutes ultramétriques.

Valeurs absolues équivalentes

Deux valeurs absolues sur un corps K sont dites topologiquement équivalentes si elles définissent la même topologie (c'est-à-dire qu'elles définissent les mêmes ouverts). Ou encore qu'une suite d'éléments de K converge pour la première valeur absolue si et seulement si elle converge pour la seconde.

Théorème d'Ostrowski

Théorème d'Ostrowski — Une valeur absolue non triviale sur ℚ est topologiquement équivalente à la valeur absolue usuelle | ∙ |_∞ ou à l'une des valeurs absolues p-adiques | ∙ |_p où p est un nombre premier.

Complétés du corps des nombres rationnels

Le théorème d'Ostrowski montre qu'il n'existe que deux types de complétés du corps ℚ. Si l'on prend une valeur absolue équivalente à la valeur absolue usuelle, on construira un corps isomorphe à ℝ. On pourra consulter la construction des nombres réels pour plus d'information.

Si l'on complète le corps ℚ par une valeur absolue p-adique, on obtient des corps complets très différents de celui des réels : les corps p-adiques. Cela ouvre les portes de l'analyse p-adique.

Références

• (en) Gerald J. Janusz, Algebraic Number Fields, AMS, 1996, 2^e éd. (ISBN 978-0-8218-0429-2, lire en ligne)
• (en) Nathan Jacobson, Basic algebra, vol. II, W. H. Freeman, 1989, 2^e éd. (ISBN 978-0-7167-1933-5)

Lien externe

Une démonstration du théorème d'Ostrowski