Théorème KAM

Le théorème KAM est un théorème de mécanique hamiltonienne qui affirme la persistance de tores invariants sur lesquels le mouvement est quasi-périodique, pour les perturbations de certains systèmes hamiltoniens. Il doit son nom aux initiales de trois mathématiciens qui ont donné naissance à la théorie KAM : Kolmogorov, Arnold et Moser. Kolmogorov annonça un premier résultat en 1954, mais il ne donna que les grandes lignes de sa démonstration. Le théorème de Kolmogorov fut démontré rigoureusement en 1963 par Arnold. Moser obtint au même moment un théorème de type KAM dans une cadre différentiable.

On pensait autrefois que l'hypothèse ergodique de Boltzmann s'appliquait à tous les systèmes dynamiques non-intégrables. Le théorème KAM met en défaut cette hypothèse, comme c'était déjà le cas avec le résultat de l'expérience de Fermi-Pasta-Ulam (1953). En effet, le théorème KAM nous apprend que la perturbation d'un système intégrable ne conduit pas nécessairement à un système ergodique, mais que des tores invariants peuvent subsister dans des régions de mesure finie de l'espace des phases, correspondant à des îlots où la dynamique du système perturbé reste quasi-périodique.

Articles connexes

• Expérience de Fermi-Pasta-Ulam
• Théorie ergodique
• Théorie du chaos
• Mécanique céleste
• Jürgen K. Moser | Andreï Kolmogorov | Vladimir Arnold

Bibliographie

• Barbara Burke-Hubbard & John Hubbard, « Loi et ordre dans l'univers : le théorème KAM », Pour la Science 188 (Juin 1993) 74-82.
• Vladimir I. Arnold et André Avez, Ergodic Problems of Classical Mechanics, Advanced Book Classics, Pearson Addison Wesley (Mai 1989) ASIN : 0201094061.
• Vladimir I. Arnold, Mathematical Methods of Classical Mechanics, Springer-Verlag (2^e édition-1989) (ISBN 0-387-96890-3).
  Une synthèse de l'état de l'art en mécanique analytique (formalismes Lagrangien & Hamiltonien) avec l'accent mis sur l'interprétation géométrique de ces formalismes, par l'un des plus brillants mathématiciens du domaine. À partir du second cycle universitaire.
• Vladimir I. Arnold, V.V. Kozlov & A.I. Neishtadt, Mathematical Aspects of Classical and Celestial Mechanics, Encyclopaedia of Mathematical Sciences, Springer-Verlag (2^e édition-1993).
• Henk W. Broer, KAM Theory: The Legacy of Kolmogorov's 1954 Paper, Bulletin of the American Mathematical Society 41(4) (2004), 507-521. Texte disponible en ligne.