Théorie des catastrophes

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Aller à : navigation, rechercher

Dans le domaine de la topologie différentielle, la théorie des catastrophes, fondée par René Thom, est une branche de la théorie des bifurcations qui a pour but de construire le modèle dynamique continu le plus simple pouvant engendrer une morphologie, donnée empiriquement, ou un ensemble de phénomènes discontinus.

Plus précisément, il s'agit d'étudier qualitativement comment les solutions d'équations dépendent du nombre de paramètres qu'elles contiennent. Le terme de « catastrophe » désigne le lieu où une fonction change brusquement de forme.

L'avantage de cette théorie par rapport au traitement habituel des équations différentielles est de tenir compte des fonctions comportant des singularités, c'est-à-dire des variations soudaines.

Histoire[modifier | modifier le code]

La théorie des catastrophes permet une extension de la première théorie des jeux[réf. nécessaire] de Von Neumann et Morgenstern, outil pour analyser des situations d'intérêts opposés, à somme nulle : en effet, celle-ci ne traitait que de solutions où le résultat dépendait juste des choix statistiques ou probables des joueurs, faisant apparaître souvent une courbe en selle où l'on trouvait ce qui permettait à l'un de maximiser ses gains et à l'autre de minimiser ses pertes. Le propre de cette courbe en selle est qu'à tout choix X de l'un et Y de l'autre ne correspond qu'une seule valeur possible du résultat R (-R pour l'autre joueur, donc).

On ne pouvait donc alors envisager de surfaces de réponse présentant une fronce, où des choix X et Y auraient pu présenter des résultats R1 et R2 différents selon les choix antérieurs. Cette limitation, et le cas particulier de la fronce, conduisit René Thom à s'intéresser à ces topologies particulières.

Des progrès importants dans l'espérance de vie et son estimation ont lieu à partir du milieu du XVIIIe siècle, grâce aux travaux des mathématiciens tournés vers les statistiques et les probabilités, comme Daniel Bernoulli (1763), et son frère Nicolas Bernoulli, précurseur des théories financières des Jeux et de l'aversion au risque via le Paradoxe de Saint-Pétersbourg, ou Leonhard Euler, qui a inventé au même moment le terme de "démographie mathématique"[1].

La théorie des catastrophes a été mise en évidence en 1972 suite à la parution du livre de René Thom, Stabilité structurelle et morphogenèse[2], qui marque l'arrivée de la mathématique dans un domaine jusque là non formalisé.

Théorème de la classification[modifier | modifier le code]

Le résultat le plus célèbre obtenu est qu'il n'existe que sept formes de « catastrophes » possibles pour toutes les équations donnant, en fonction d'un certain nombre n de paramètres d'entrée, la valeur du potentiel V d'un système, si le nombre n de ces paramètres ne dépasse pas quatre. Chacune d'elles a reçu un nom en rapport avec sa forme :

  • Pour un paramètre (a) en entrée et ...
  • Pour deux paramètres (a et b) en entrée et ...
    • une variable (x) en sortie :
  • Pour trois paramètres (a, b et c) en entrée et ...
    • une variable (x) en sortie :
    • deux variables (x et y) en sortie :
      • l'ombilic hyperbolique (la vague) : V = x^3 + y^3 + axy + bx + cy              ou bien
      • l'ombilic elliptique (le poil) : V = x^3/3 - xy^2 + a(x^2+y^2) + bx + cy
  • Pour quatre paramètres (a, b, c et d) en entrée et ...
    • une variable (x) en sortie :
    • deux variables (x et y) en sortie :

Avec cinq paramètres, il existe quatre formes de catastrophes supplémentaires ; ainsi, avec au plus cinq paramètres, il n'existe qu'onze formes de catastrophes distinctes.

Quand il y a six paramètres ou plus, la classification des catastrophes devient infinie : des « modules » apparaissent.

Applications[modifier | modifier le code]

Ses applications sont d'abord en simulations d'objets naturels.

On la retrouve aussi dans d'autres domaines : géologie, mécanique appliquée, hydrodynamique, optique géométrique, physiologie, biologie, linguistique.

Erik Christopher Zeeman a, de façon controversée, étendu son application aux sciences humaines.

Jean Petitot a, de son côté, étendu son application à l'épistémologie.

Références[modifier | modifier le code]

  1. "-Recherches générales sur la mortalité et la multiplication du genre humain" par Leonhard Euler
  2. http://www.universalis.fr/encyclopedie/theorie-des-catastrophes/

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

  • René Thom, Stabilité structurelle et morphogénèse, Interédition, Paris, 1977
  • René Thom, Modèles mathématiques de la morphogenèse, Christian Bourgois, Paris, 1981
  • René Thom, Paraboles et catastrophes, Éd. Champs Flammarion, no 186, 1983
  • René Thom, Prédire n'est pas expliquer, Éd. Champs Flammarion, no 288, 1993
  • (en) Vladimir Arnol'd, Catastrophe Theory, 3e éd., Berlin, Springer, 1992

Article connexe[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]