Théorie des catastrophes

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Dans le domaine de la topologie différentielle, la théorie des catastrophes, fondée par René Thom, est une branche de la théorie des bifurcations qui a pour but de construire le modèle dynamique continu le plus simple pouvant engendrer une morphologie, donnée empiriquement, ou un ensemble de phénomènes discontinus.

Plus précisément, il s'agit d'étudier qualitativement comment les solutions d'équations dépendent du nombre de paramètres qu'elles contiennent. Le terme de « catastrophe » désigne le lieu où une fonction change brusquement de forme.

La force de cette théorie par rapport au traitement habituel des équations différentielles est de tenir compte des fonctions comportant des singularités, c'est-à-dire des variations soudaines.

Théorème de la classification

Le résultat le plus célèbre obtenu est qu'il n'existe que sept formes de « catastrophes » possibles pour toutes les équations donnant, en fonction d'un certain nombre n de paramètres d'entrée, la valeur du potentiel V d'un système, si le nombre n de ces paramètres ne dépasse pas quatre. Chacune d'elles a reçu un nom en rapport avec sa forme :

• Pour un paramètre (a) en entrée et ...
  • une variable (x) en sortie :
    • le pli : $V = x^3 + ax$
• Pour deux paramètres (a et b) en entrée et ...
  • une variable (x) en sortie :
    • la fronce : $V = x^4 + ax^2 + bx$
• Pour trois paramètres (a, b et c) en entrée et ...
  • une variable (x) en sortie :
    • la queue d'aronde : $V = x^5 + ax^3 + bx^2 + cx$
  • deux variables (x et y) en sortie :
    • l'ombilic hyperbolique (la vague) : $V = x^3 + y^3 + axy + bx + cy$              ou bien
    • l'ombilic elliptique (le poil) : $V = x^3/3 - xy^2 + a(x^2+y^2) + bx + cy$
• Pour quatre paramètres (a, b, c et d) en entrée et ...
  • une variable (x) en sortie :
    • le papillon : $V = x^6 + ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx$
  • deux variables (x et y) en sortie :
    • l'ombilic parabolique (le champignon)  : $V = x^2y + y^4 + ax^2 + by^2 + cx + dy$

Avec cinq paramètres, il existe encore quatre formes de catastrophes ; ainsi, avec au plus cinq paramètres, il n'existe que onze formes de catastrophes distinctes.

Quand il y a six paramètres ou plus, la classification des catastrophes devient infinie : des « modules » apparaissent.

Applications

Ses applications sont d'abord en simulations d'objets naturels.

On la retrouve aussi dans d'autres domaines : géologie, mécanique appliquée, hydrodynamique, optique géométrique, physiologie, biologie, linguistique.

Erik Christopher Zeeman a, de façon controversée, étendu son application aux sciences humaines.

Jean Petitot a, de son côté, étendu son application à l'épistémologie.

Voir aussi

Bibliographie

• René Thom, Stabilité structurelle et morphogénèse, Interédition, Paris, 1977
• René Thom, Modèles mathématiques de la morphogenèse, Christian Bourgeois, Paris, 1981
• René Thom, Paraboles et catastrophes, Éd. Champs Flammarion, n^o 186, 1983
• René Thom, Prédire n'est pas expliquer, Éd. Champs Flammarion, n^o 288, 1993
• (en) Vladimir Arnol'd, Catastrophe Theory, 3^e éd., Berlin, Springer, 1992

Article connexe

• Ouvroir de catastrophe potentielle

Liens externes

• La Recherche n^o 81 septembre 1977, vol. 8, p. 745–754 (Ivar Ekeland) Cet article didactique contient des figures. Attention : il y a une erreur dans l'article d'Ekeland : la classification des catastrophes élémentaires est toujours finie (avec onze formes, comme indiqué ci-dessus) quand il y a cinq paramètres ou moins. Le théorème de Thom n'est pas une explication possible du fait que notre espace-temps soit de dimension quatre, comme le suggérait Ekeland.
• (en) Introduction, par Lucien Dujardin
• (en) Les travaux de E.C.Zeeman
• (en) Michor Elementary catastrophe theory, pdf