Théorie des catastrophes

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Dans le domaine de la topologie différentielle, la théorie des catastrophes, fondée par René Thom, est une branche de la théorie des bifurcations qui a pour but de construire le modèle dynamique continu le plus simple pouvant engendrer une morphologie, donnée empiriquement, ou un ensemble de phénomènes discontinus.

Plus précisément, il s'agit d'étudier qualitativement comment les solutions d'équations dépendent du nombre de paramètres qu'elles contiennent. Le terme de « catastrophe » désigne le lieu où une fonction change brusquement de forme.

L'avantage de cette théorie par rapport au traitement habituel des équations différentielles est de tenir compte des fonctions comportant des singularités, c'est-à-dire des variations soudaines.

Histoire[modifier | modifier le code]

La théorie des catastrophes est en partie issue de la théorie des jeux[réf. nécessaire], ensemble d'outils pour analyser les situations où l'optimum pour un agent (personne physique, entreprise, animal…) dépend des anticipations qu'il forme sur ce qu'un ou plusieurs autres agents vont faire.

Des progrès importants dans l'espérance de vie et son estimation ont lieu à partir du milieu du XVIIIème siècle, grâce aux travaux des mathématiciens tournés vers les statistiques et les probabilités, comme Daniel Bernoulli (1763), et son frère Nicolas Bernoulli, précurseur des théories financières des Jeux et de l'aversion au risque via le Paradoxe de Saint-Pétersbourg, ou Leonhard Euler, qui a inventé au même moment le terme de "démographie mathématique"[1].

Théorème de la classification[modifier | modifier le code]

Le résultat le plus célèbre obtenu est qu'il n'existe que sept formes de « catastrophes » possibles pour toutes les équations donnant, en fonction d'un certain nombre n de paramètres d'entrée, la valeur du potentiel V d'un système, si le nombre n de ces paramètres ne dépasse pas quatre. Chacune d'elles a reçu un nom en rapport avec sa forme :

  • Pour un paramètre (a) en entrée et ...
  • Pour deux paramètres (a et b) en entrée et ...
    • une variable (x) en sortie :
  • Pour trois paramètres (a, b et c) en entrée et ...
    • une variable (x) en sortie :
    • deux variables (x et y) en sortie :
      • l'ombilic hyperbolique (la vague) : V = x^3 + y^3 + axy + bx + cy              ou bien
      • l'ombilic elliptique (le poil) : V = x^3/3 - xy^2 + a(x^2+y^2) + bx + cy
  • Pour quatre paramètres (a, b, c et d) en entrée et ...
    • une variable (x) en sortie :
    • deux variables (x et y) en sortie :

Avec cinq paramètres, il existe quatre formes de catastrophes suppémentaires ; ainsi, avec au plus cinq paramètres, il n'existe que onze formes de catastrophes distinctes.

Quand il y a six paramètres ou plus, la classification des catastrophes devient infinie : des « modules » apparaissent.

Applications[modifier | modifier le code]

Ses applications sont d'abord en simulations d'objets naturels.

On la retrouve aussi dans d'autres domaines : géologie, mécanique appliquée, hydrodynamique, optique géométrique, physiologie, biologie, linguistique.

Erik Christopher Zeeman a, de façon controversée, étendu son application aux sciences humaines.

Jean Petitot a, de son côté, étendu son application à l'épistémologie.

Références[modifier | modifier le code]

  1. "-Recherches générales sur la mortalité et la multiplication du genre humain" par Leonhard Euler

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

  • René Thom, Stabilité structurelle et morphogénèse, Interédition, Paris, 1977
  • René Thom, Modèles mathématiques de la morphogenèse, Christian Bourgois, Paris, 1981
  • René Thom, Paraboles et catastrophes, Éd. Champs Flammarion, no 186, 1983
  • René Thom, Prédire n'est pas expliquer, Éd. Champs Flammarion, no 288, 1993
  • (en) Vladimir Arnol'd, Catastrophe Theory, 3e éd., Berlin, Springer, 1992

Article connexe[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]