Théorie de Schrödinger de l'atome d'hydrogène

Cet article doit être recyclé. Une réorganisation et une clarification du contenu sont nécessaires. Discutez des points à améliorer en page de discussion.

Cet article est une ébauche concernant la physique atomique. Vous pouvez partager vos connaissances en l’améliorant (comment ?) selon les recommandations des projets correspondants.

Pour un article plus général, voir : atome.

Cet article est un complément pour l'article sur l'atome d'hydrogène et la Théorie de Pauli de l'atome d'hydrogène.

On considère que les harmoniques sphériques, l'équation 1D de Leibniz-Schrodinger ainsi que l'équation radiale-réduite sont des préacquis.

Pour cet article initial sur l'atome d'hydrogène, on va vérifier directement sur l'équation radiale-réduite en :

$f\left(n,l,\frac{2r}{n}\right)= f(n, l, s)$

et que les valeurs données par les tables mathématiques pour les couches K , L et M, sont exactes:

$R(n, l, r) = \frac{S(n, l, r)}{r} = r^l . e^{\frac{-r}{n}} . P(n, l, r)$

( Cet article à recours aux équations pour éviter une approche purement descriptive ! ).

Couche K

Pour la couche K, on l'a déjà vu l'orbitale 1s :

$\psi\ (r) = R(r) = e^{-r} . N$,

avec N = 2 pour les couches K , L et M, sont exactes, vérifions-le :

• R(r) est bien orthonormé sur l'intervalle r > 0 ;
• l'équation radiale-réduite est automatiquement satisfaite puisque P = constante et k = 0.

Couche L

Pour la Couche L il y a 1 orbitale 2s, et 3 orbitales 2p :

Orbitales 2p (de Rydberg) :

$R(r) = N\cdot r\cdot e^{-\frac{r}{2}}$.

La normalisation conduit à $N = \frac{1}{2\sqrt{6}}$,

mais il faudra encore multiplier par $\frac{Y_{1,m}}{r}$, avec m = − 1,0,1.

Et avec $E=-\frac{1}{4}$ (n = 2, l = 1 donc k = 0), l'équation radiale-réduite est satisfaite, on l'a déjà vu.

Orbitale 2s : il y a 1 nœud, k = 1:

$R(r)=N\cdot\left(1-\frac{r}{2}\right)\cdot e^{-\frac{r}{2}}$ avec $N = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

L'équation radiale-réduite est

$s\cdot f'' + (2-s)\cdot f' + (n-1)\cdot f = 0$,

avec $f(s)= \left(1-\frac{s}{2}\right)$ : soit (2 − s)( − 1 / 2) + (n − 1)(1 − s / 2) = 0, ou encore $E=-\frac{1}{4}$.

Couche M

Couche M : 1 orbitale 3s , 3 orbitales 3p et 5 orbitales 3d :

Orbitales 3d (de Rydberg) donc

$R(r) = N\cdot r^2\cdot e^{-\frac{r}{3}}$ avec $N = \frac{4}{81\sqrt{30}}$.

Il faudra multiplier par $\frac{Y_{2,m}}{r}$ avec m = − 2, − 1,0,1,2.

L'énergie est $E(3d) = -\frac{1}{9}$ (déjà vu f(s) = cste).

Orbitales 3p , avec 1 nœud :

$R(r) = N\cdot r\cdot\left(1-\frac{r}{6}\right)\cdot e^{-\frac{r}{3}}$ avec $N = \frac{8}{27\sqrt{6}}$.

Il faudra multiplier par $\frac{Y_{1,m}}{r}$ avec m = − 1,0,1.

Montrer que $g(r)=1-\frac{r}{6}$ vérifie rg'' + (6 − r)g' + g = 0 est assez facile.

Finalement, l'énergie vaut bien $E(3p)=-\frac{1}{9}$.

Orbitale sphérique 3s, avec 2 nœuds :

$R(r) = N\cdot (r-a)(r-b)\cdot e^{-\frac{r}{3}}$,

et cette fois, il faut vérifier que

f(3,0,s) = (s − a')(s − b') = s² − Ss + P

satisfait à

sf'' + (2 − s)f' + 2f = 0,

ce qui est assez aisé : f est le Polynôme s² − 6s + 6, soit avec $s=\frac{2r}{n}$,

$R(r)=N\cdot\left(r^2-9r+\frac{27}{2}\right)\cdot e^{-\frac{r}{3}}$ : la probabilité de trouver l'électron voisin de r = a ou r = b, soit $\frac{3}{2}(3\pm\sqrt{3}) = \left|\begin{array}{l}7.098\\1.912\end{array}\right.$ est nulle.

Finalement, l'énergie vaut $E(3d)= -\frac{1}{9}$.

Conclusion

L'énergie la plus basse (n=1, E = E1) correspond à 1seule orbitale 1s. Puis la couche L( n=2 E = E2 = E1/2²)correspond à 1+3 orbitales, une 2s et trois 2p. La couche M ( n=3, E = E3 = E1/3²) correspond à 1+3+5 orbitales, une 3s (avec deux nœuds en 1.9 et 7.1), trois 3p (avec un nœud en r=6) et enfin cinq 3d (sans nœud).

Cette section est vide, insuffisamment détaillée ou incomplète. Votre aide est la bienvenue !

Articles connexes

• Atome
• Atome d'hydrogène
• Théorie de Pauli de l'atome d'hydrogène

Liens externes

• Christian Magnan, Texte sur la théorie de Schrödinger