Théorie de Galois inverse

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En mathématiques et plus précisément en algèbre la théorie de Galois inverse est une branche de la théorie de Galois.

L'objet de la théorie est de répondre à la question : Soit G un groupe et K un corps, existe-t-il une extension de corps de K tel que son groupe de Galois soit G ? Peut-on choisir L tel que l'extension soit galoisienne ?

La plus grande conjecture de la théorie est la suivante : Tout groupe fini est le groupe de Galois d'une extension galoisienne des nombres rationnels.

Malgré d'importants progrès durant les trente dernières années du XXe siècle et un grand nombre de résultats établis, la théorie reste une vaste conjecture.

Problème[modifier | modifier le code]

Le théorème fondamental de la théorie de Galois montre que des extensions ayant même groupe de Galois sont très semblables. La détermination de ce groupe apprend énormément sur la structure de l'extension, elle est cependant souvent délicate. Il apparaît alors naturel de se poser la question inverse.

Les groupes de Galois des extensions algébriques sont naturellement munis d'une structure de groupe profini. On peut montrer réciproquement, par une construction ad hoc, que tout groupe profini G est bien groupe de Galois d'une certaine extension algébrique[1] : soit F un corps (commutatif), on note K le corps des fractions rationnelles sur F en un ensemble d'indéterminées indicé par les éléments des groupes quotients de G par ses sous-groupes distingués ouverts. On peut alors montrer que l'extension K/KG est alors une extension galoisienne de groupe de Galois G. Cependant, rien n'assure que KG=F. Le problème de la théorie de Galois inverse devient : peut-on, via éventuellement une autre construction, obtenir KG=F ?

Cette question peut donc se résumer :

  • Soit un groupe fini (ou profini) et un corps, existe-t-il une extension galoisienne de ce corps ayant pour groupe de Galois ce groupe ?
  • Soit un groupe fini (ou profini), existe-t-il une extension galoisienne de ℚ ayant pour groupe de Galois ce groupe[2] ? (le groupe sera alors dit réalisable).

Aucune de ces questions n'est actuellement résolue.

Exemples[modifier | modifier le code]

Quelques résultats[modifier | modifier le code]

Les résultats suivants sont maintenant démontrés :

Les différentes stratégies[modifier | modifier le code]

Pour un groupe G donné, l'idée d'Emmy Noether[11] est de réaliser ce groupe comme le groupe de Galois d'une extension de ℚ(T). Ensuite le théorème d'irréductibilité de Hilbert (en) nous donne l'existence d'une infinité de valeurs rationnelles pour T pour lesquelles le groupe de Galois reste G[12].

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. (en) Luis Ribes et Pavel Zalesskii, Profinite Groups [détail des éditions], Theorem 2.11.5, p. 73-74
  2. a et b Alain Kraus, « Introduction au problème de la théorie de Galois inverse », dans Théorie de Galois – Cours accéléré de DEA, université Paris 6, 1998, p. 28-46
  3. (de) E. Fischer, « Zur Theorie der endlichen Abelschen Gruppen », Math. Ann., vol. 77,‎ 1915, p. 81-88 (lire en ligne).
  4. (en) E. S. Selmer, « On the irreductibility of certain trinomials », Math. Scand., vol. 4,‎ 1956, p. 287-302 (lire en ligne)
  5. Voir aussi § « Contre-exemples en tout degré supérieur ou égal à 5 » de l'article sur le théorème d'Abel.
  6. A. Kraus (op. cit.) mentionne cependant, pour le groupe alterné, deux résultats explicites partiels : si n est divisible par 4, le polynôme exponentiel tronqué ∑0≤k≤n( Xk/k!) fournit une réalisation de An, et si n est pair et supérieur ou égal à 4, le polynôme ht(X)=(n–1)Xn–nXn–1+(–1)n/2(n–1)t2 aussi, pour une infinité de valeurs du rationnel t.
  7. (en) Helmut Völklein, Groups as Galois Groups : An introduction, CUP, coll. « Cambridge Studies in Advanced Mathematics » (no 53),‎ 1996 (ISBN 978-0-521-56280-5, lire en ligne), 52-53
  8. On peut en trouver une démonstration dans (en) Jürgen Neukirch, Alexander Schmidt (de) et Kay Wingberg (de), Cohomology of number fields [détail de l’édition].
  9. (en) Christian U. Jensen, Arne Ledet et Noriko Yui (en), Generic Polynomials, CUP,‎ 2002 (ISBN 978-0-521-81998-5), 5
  10. (en) John G. Thompson, « Some finite groups which appear as Gal L/K, where K ⊆ ℚ(μn) », J. Algebra, vol. 89, no 2,‎ 1984, p. 437–499
  11. (de) E. Noether, « Gleichungen mit vorgeschriebener Gruppe », Math. Ann., vol. 78,‎ 1918, p. 221-229, en ligne [sur GDZ] ou [sur Google Livres]
  12. Cette approche est développée par Pierre Dèbes, « Théorie de Galois inverse et géométrie algébrique », Séminaires & Congrès de la SMF, vol. 5,‎ 2001, p. 1-26 (lire en ligne)

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]