Théorie d'Iwasawa

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La théorie d'Iwasawa peut être vue comme une tentative d'étendre les résultats arithmétiques classiques sur les corps de nombres (extensions finies du corps \mathbb{Q} des rationnels) à des extensions infinies de \mathbb{Q}, par des procédés de passage à la limite des extensions finies vers les extensions infinies.

Généralités[modifier | modifier le code]

Les objets de base de la théorie d'Iwasawa sont les \mathbb{Z}_p-extensions ; c'est-à-dire des extensions galoisiennes dont le groupe de Galois est le groupe profini \mathbb{Z}_p, pour p un nombre premier fixé. Par la correspondance de Galois, la donnée d'une \mathbb{Z}_p-extension est équivalente à celle d'une tour d'extensions K=K_0\subset K_1\subset\dots\subset K_n\subset\dots\subset K_\infty telle que chaque K_n est galoisienne sur K de groupe de Galois \mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}.

  • Pour chaque corps de nombres, une \mathbb{Z}_p-extension particulière peut-être construite par adjonction de racines p-ièmes de l'unité : la \mathbb{Z}_p-extension cyclotomique.
  • Sous la conjecture de Leopoldt, un corps de nombres admet r_2+1 \mathbb{Z}_p-extensions linéairement indépendantes, où r_2 est le nombre de couples de plongements complexes conjugués du corps considéré ; ce qui peut encore s'énoncer en disant que le compositum de toutes ces extensions a pour groupe de Galois \mathbb{Z}_p^{r_2+1}.

Théorème fondamental[modifier | modifier le code]

Le théorème fondateur de la théorie, dû à Iwasawa, porte sur le comportement du groupe des classes le long d'une \mathbb{Z}_p-extension. Soit p\, un nombre premier, K\, un corps de nombres, et \bigcup_n K_n\, une \mathbb{Z}_p\,-extension de K\,. Pour chaque n\,, on s'intéresse au cardinal du p\,-Sylow du groupe des classes de K_n\, ; notons le p^{e_n}\,. Alors, il existe des entiers \mu\,, \lambda\, (positifs), \nu\, (de signe quelconque), tels que pour n\, assez grand, on ait :

e_n=\mu p^n+\lambda n+\nu\,

Idée de la démonstration[modifier | modifier le code]

Notons A(Kn) le p-Sylow du groupe des classes du corps Kn. Par la théorie du corps de classes, il existe une extension Ln de Kn tel que A(K_n)\simeq Gal(L_n/K_n) : Ln est la p-extension abélienne non ramifiée maximale de Kn. L'union des corps Ln fournit alors un corps L, qui est la pro-p- extension abélienne non ramifiée maximale de K_\infty.

On considère alors le groupe de Galois X=Gal(L/K_\infty) :

  • X est la limite projective des groupes Gal(L_n/K_n), qui apparaissent comme des quotients de X.
  • X en tant que pro-p-groupe abélien a une structure naturelle de \mathbb{Z}_p-module.
  • Par ailleurs, le groupe de Galois de l'extension cyclotomique Gal(K_\infty/K) agit sur X, dont on peut montrer qu'il est ainsi muni d'une structure de \mathbb{Z}_p[[T]]-module, c'est-à-dire de module d'Iwasawa.

L'investigation de la structure des modules d'Iwasawa relève de l'algèbre linéaire. Connaissant leur classification à pseudo-isomorphisme près, et ayant calculé par quel sous-groupe on quotiente X pour obtenir Gal(L_n/K_n), on peut en déduire l'estimation asymptotique du cardinal de ces groupes, qui fournit la formule annoncée sur A(Kn).

Quelques résultats et conjectures[modifier | modifier le code]

Développements[modifier | modifier le code]

Le développement des idées d'Iwasawa peut se faire selon plusieurs axes :

Notes et références[modifier | modifier le code]

Notes[modifier | modifier le code]

  1. (en) B. Mazur et A. Wiles, « Class fields of abelian extensions of Q », Inventiones Mathematicae, vol. 76, no 2,‎ 1984, p. 179–330 (lire en ligne)
  2. (en) A. Wiles, « The Iwasawa Conjecture for Totally Real Fields », Annals of Mathematics, vol. 131, no 3,‎ 1990, p. 493–540 (DOI 10.2307/1971468)
  3. (en) K. Rubin, « The "main conjectures" of Iwasawa theory for imaginary quadratic fields », Inventiones Mathematicae, vol. 103, no 1,‎ 1991, p. 25–68 (DOI 10.1007/BF01239508)
  4. (en) C. Skinner et É. Urban, The Iwasawa main conjectures for GL2, preprint (2010).

Références[modifier | modifier le code]