Théorèmes d'isomorphisme

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En mathématiques, les trois théorèmes d'isomorphisme fournissent l'existence d'isomorphismes dans le cadre de la théorie des groupes.

Ces trois théorèmes d'isomorphisme sont généralisables à d'autres structures que les groupes. Voir notamment à Algèbre universelle.

Premier théorème d'isomorphisme[modifier | modifier le code]

Le premier théorème d'isomorphisme affirme qu'étant donné un morphisme de groupes f:G\to G', on peut rendre f injectif en quotientant G par son noyau.

Intuitivement, quotienter un groupe G par un sous-groupe H revient à « annuler » les éléments de H. En quotientant par le noyau de f, on fait donc en sorte que f(x)=0 ne soit vrai que pour x=0, ce qui est équivalent à l'injectivité de f.

Pour pouvoir parler de morphisme de groupes G/\operatorname{Ker} f\to G', il faut d'abord s'assurer que le quotient est muni d'une structure de groupe.

Proposition —  Soient G et G' deux groupes et soit f:G\rightarrow G' un morphisme de groupes. Alors \operatorname{Ker} f est un sous-groupe normal de G.

Le fait que \operatorname{Ker} f soit un sous-groupe normal de G permet de définir sur le groupe quotient G / \operatorname{Ker} f une loi de groupe compatible avec celle de G. Grâce à cette compatibilité, le morphisme de groupes f : G \rightarrow G' induit un morphisme \widehat f : G / \operatorname{Ker} f \rightarrow  \operatorname{Im} f.

On peut maintenant énoncer le théorème.

Premier théorème d'isomorphisme —  Soient G et G' deux groupes, et soit f:G \rightarrow G' un morphisme de groupes. Alors f induit un isomorphisme de G/\operatorname{Ker} f vers f(G).

Une autre formulation possible du théorème précédent est que le morphisme f se factorise par la surjection et l'injection canoniques, c'est-à-dire que le diagramme qui suit est commutatif.

Diagramme commutatif de la factorisation canonique d'un homomorphisme
Factorisation d'un morphisme

Deuxième théorème d'isomorphisme[modifier | modifier le code]

Deuxième théorème d'isomorphisme —  Soient G un groupe, N un sous-groupe normal de G et H un sous-groupe de G. Alors N \cap H est un sous-groupe normal de H, et on a l'isomorphisme suivant :

H/(H\cap N)\simeq HN/N.

La conclusion de ce théorème reste vraie si l'on suppose seulement que le normalisateur de N contient H (au lieu de le supposer égal à G tout entier).


Troisième théorème d'isomorphisme[modifier | modifier le code]

Troisième théorème d'isomorphisme — Soient G un groupe et N et M deux sous-groupes normaux de G tels que M soit inclus dans N. Alors N/M est un sous-groupe normal de G/M et on a l'isomorphisme suivant :

(G/M)/(N/M)\simeq G/N.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Théorème de factorisation.

Référence[modifier | modifier le code]

Serge Lang, Algèbre [détail des éditions] chapitre I, § 4