Théorème japonais pour les quadrilatères inscriptibles

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En géométrie, le théorème japonais pour les quadrilatères dit que les centres des cercles inscrits des triangles d'un quadrilatère inscriptible sont les sommets d'un rectangle.

En traçant les diagonales du quadrilatère, on obtient quatre triangles (chaque diagonale crée deux triangles). Les centres des cercles inscrits dans ces triangles forment un rectangle.

Japanese theorem 2.svg

Énoncé[modifier | modifier le code]

Soit  ABCD un quadrilatère inscriptible quelconque et soient M_1,M_2,M_3,M_4 les centres respectifs des cercles inscrits dans les triangles  ABD, ABC, BCD, ACD .

Alors le quadrilatère M_1M_2M_3M_4 est un rectangle.

Principe de la démonstration
La démonstration s'appuie sur deux propriétés sur les angles :
  • Dans un triangle ABC dont le centre du cercle inscrit est O, l'angle BOC est égal à la moitié de l'angle BAC augmenté d'un angle droit,
  • La propriété des angles inscrits pour des points cocycliques
On démontre alors que les points A, B, M_1 et M_2 sont cocycliques, ainsi que que A, D, M_1 et M_4, etc. On prouve alors que l'angle M_2M_1M_4 est droit en l'écrivant à l'aide des angles M_2M_1A et M_4M_1A.
Prolongement
Ce théorème est une étape dans la démonstration d'un théorème plus général, concernant les rayons des cercles inscrits, le théorème japonais qui stipule dans le cadre de ce quadrilatère, que la somme des rayons des cercles inscrits de centre M_1 et M_3 est égale à la somme des rayons des cercles inscrits de centres M_2 et M_4. Pour prouver le cas des quadrilatères inscriptibles, il faut construire le parallélogramme dont les côtés passent par les sommets du rectangle tout en étant parallèles aux diagonales du quadrilatère. On démontre alors que le parallélogramme obtenu est un losange, en se servant des angles alternes-internes et de la cocyclicité des points A, B, M_1 et M_2, etc. Les distances entre les côtés opposés de ce losange sont donc égales, ce qui revient à dire que la somme des rayons des cercles inscrits tangents à chaque diagonale sont égaux.
Le cas du quadrilatère prouve immédiatement le cas général par la triangulation d'un polygone.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

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