Théorème du viriel

En mécanique classique, le théorème du viriel est une relation générale qui s'applique à un système de plusieurs corps en interaction. Il relie les moyennes temporelles de ses énergies cinétique et potentielle. Il fut proposé en 1870 par Rudolf Clausius qui travaillait alors sur les fondements de la thermodynamique et cherchait à relier les notions de température et de chaleur aux mouvements des molécules de gaz.

Historique

Le terme viriel, du latin vis (force), et le théorème sont tous deux proposés par Rudolf Clausius en 1870.

Énoncé du théorème

Énoncé d'origine

Tel qu'énoncé à l'origine par Clausius, le théorème s'applique à un ensemble stable de particules de masse $m$ repérées par leurs positions $\vec r$ et leurs vitesses $\vec v$, sur lesquelles s'exercent des forces $\vec F$. Il s'écrit :

$\sum \frac{1}{2} m \overline{v^2} = - \frac{1}{2}\sum\overline{\vec{r}\cdot\vec{F}}$

où la barre désigne la moyenne temporelle des quantités correspondantes.

Cas particulier

On en retient souvent le cas particulier suivant :

Théorème du viriel — Dans un système en équilibre dynamique, l'énergie cinétique $E_c$ égale l'opposé de la moitié de l'énergie potentielle $E_p$ :

$2E_c + E_p = 0$.

Ce résultat est une simple conséquence du principe fondamental de la dynamique, appliqué à un ensemble de masses en interaction gravitationnelle réciproque (problème à N corps).

L'énergie totale E = E_c + E_p vaut donc

$E = \tfrac12 E_p = - E_c$.

Démonstration

En dynamique à N-corps

Hypothèse

un système de N corps massifs isolé ; chaque corps ne subit donc que les seules forces gravitationnelles de ses voisins.

Le principe fondamental de la dynamique énonce que pour chaque corps i, la force gravitationnelle s'écrit :

$F_i = -\sum_j G m_i m_j \frac{r_i-r_j}{|r_i-r_j|^3} = m_i \frac{d^2r_i}{dt^2}$

En multipliant par $r_i$ et en sommant sur toutes les masses i, cela donne :

$\sum_i F_i r_i = -\sum_{i,j} G m_i m_j \frac{r_i (r_i-r_j)}{|r_i-r_j|^3} = \sum_i m_i r_i \frac{d^2r_i}{dt^2}$

Avec :

$\frac{d^2}{dt^2}(r_i^2)=2\left(\frac{dr_i}{dt}\right)^2+2r_i\frac{d^2r_i}{dt^2}$,

et sachant que (par échange des indices muets) :

$\sum_{i,j} G m_i m_j \frac{r_i(r_i-r_j)}{|r_i-r_j|^3} = \sum_{i,j} G m_i m_j \frac{r_j(r_j-r_i)}{|r_j-r_i|^3}$

d'où :

$-2\sum_{i,j} G m_i m_j \frac{r_i(r_i-r_j)}{|r_i-r_j|^3} = -\sum_{i,j} G m_i m_j \left(\frac{r_i(r_i-r_j)}{|r_i-r_j|^3} + \frac{r_j(r_j-r_i)}{|r_j-r_i|^3}\right) = -\sum_{i,j} G m_i m_j \left(\frac{(r_i-r_j)^2}{|r_i-r_j|^3}\right)$

il vient :

$- \frac{1}{2} \sum_{i,j} G\frac{m_im_j}{|r_i-r_j|} = \frac{1}{2}\sum_i m_i\left(\frac{d^2(r_i^2)}{dt^2} - 2\left(\frac{dr_i}{dt}\right)^2\right)$

d'où finalement :

$-\frac{1}{2} \sum_{i,j} G\frac{m_im_j}{|r_i-r_j|} + \sum_i m_i\left(\frac{dr_i}{dt}\right)^2 = \frac{1}{2} \frac{d^2}{dt^2}\left(\sum_i m_ir_i^2\right)$

On reconnaît dans cette équation :

• l'énergie potentielle

$E_p = -\frac{1}{2} \sum_{i,j} G\frac{m_im_j}{|r_i-r_j|}$

• deux fois l'énergie cinétique

$E_c = \frac{1}{2} \sum_i m_i\left(\frac{dr_i}{dt}\right)^2$

• la dérivée seconde du moment d'inertie

$I = \sum_i m_i r_i^2$

À l'équilibre, $I$ est constant donc

$E_p + 2 E_c = 0$

ce qu'il fallait démontrer.

En physique quantique

Énoncé 

$2 \langle T \rangle = n \langle V \rangle$

avec $\langle T \rangle$ correspond à la valeur moyenne de l'énergie cinétique

et $\langle V \rangle$ correspond à la valeur moyenne du potentiel s'exprimant $V(x)=\lambda \cdot x^{n}$

Démonstration

Montrons que $\langle [H,XP] \rangle = 0$ :

$\langle [H,XP] \rangle = \langle \phi|HXP| \phi\rangle - \langle \phi|XPH| \phi\rangle$

Or, $H| \phi\rangle = E | \phi\rangle$ et $\langle \phi|H = E \langle \phi|$

Ainsi $\langle [H,XP] \rangle = E \langle \phi|XP| \phi\rangle - E \langle \phi|XP| \phi\rangle=0$ (1)

Travaillons sur $[H,XP]$ :

$[H,XP] = HXP - XPH = HXP -XHP +XHP -XPH$

Alors, $[H,XP] = [H,X]P + X[H,P]$ (2)

Exprimons $[H,X]$ et $[H,P]$ :

$[H,X] = -[X,H] = \frac{-[X,P^2]}{2m} = \frac{-ih \cdot P}{m}$

$[H,P] = [V(x),P] = ih \frac{\partial V}{\partial x}$ (3)

Revenons sur $\langle [H,XP]\rangle = 0$ :

$\langle [H,XP]\rangle = 0$

Alors, en utilisant (2), on trouve:

$0 = \langle [H,X]P\rangle + \langle X [H,P]\rangle$

De même, en utilisant (3), on trouve

$\left\langle \frac{P^2}{m}\right\rangle = n \langle V\rangle$

D'où le résultat espéré :

$2 \langle T\rangle = n \langle V\rangle$

En thermodynamique

Article détaillé : Équation du viriel.

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Applications

En astrophysique

De manière plus générale, le théorème du viriel est très utilisé en astrophysique. Notamment, il peut être utilisé pour estimer la limite de Chandrasekhar sur la masse des naines blanches.

Le théorème du viriel est très utilisé en dynamique galactique. Il permet par exemple d'obtenir rapidement un ordre de grandeur de la masse totale M d'un amas d'étoiles si l'on connaît la vitesse moyenne V des étoiles dans l'amas et la distance moyenne R entre deux étoiles de l'amas, qui peuvent être estimées à partir des observations :

• E_c ~ ½MV²
• E_p ~ - GM/2R

Il vient alors 2E_c = - E_p ⟺ M = 2RV²/G

Le facteur 2 provient du fait que pour un système de particules il faut éviter de compter deux fois l'énergie potentielle associée à un couple.

L'énigme de la matière noire

Comme il est possible par ailleurs de déterminer la masse des étoiles visibles à partir de leur luminosité, on peut comparer la masse totale obtenue par le théorème du viriel à la masse visible. Fritz Zwicky fut le premier à faire ce calcul, et constata une différence considérable (facteur 10 à l'échelle des galaxies et facteur 100 à l'échelle des amas) entre les deux grandeurs, ce qui a conduit les astrophysiciens à supposer l'existence de matière noire, c'est-à-dire non détectable par nos instruments. La seule autre explication possible serait que la loi de la gravitation n'est pas valable à grande échelle, mais aucune piste en ce sens n'a donné de résultat à ce jour.

On peut montrer que cette matière noire domine la masse des galaxies à l'extérieur du disque, dans le halo où elle s'étend jusqu'à 100-200 kiloparsecs (kpc) – contre 10-20 kpc pour la masse visible.

En thermodynamique

Article détaillé : Pression cinétique.

Lien externe

• Le viriel révèle la matière noire