Théorème du point fixe de Lefschetz

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En mathématiques, le théorème du point fixe de Lefschetz[1],[2] est une formule qui compte le nombre de points fixes d'une application continue d'un espace compact X dans lui-même en utilisant les traces des endomorphismes qu'elle induit sur l'homologie de X.

Chaque point fixe est compté avec sa multiplicité. Une version faible du théorème suffit à démontrer qu'une application qui n'a aucun point fixe doit vérifier certaines propriétés particulières (comme une rotation du cercle).

Énoncé[modifier | modifier le code]

Soit f : XX une application continue d'un espace compact triangulable X dans lui-même. On définit le nombre de Lefschetz Λf de f comme la somme alternée (finie) des traces des endomorphismes induits par f sur les espaces Hk(X, ℚ) d'homologie singulière de X à coefficients rationnels :

\Lambda_f:=\sum_{k\geq 0}(-1)^k{\rm Tr}\big(f_*|H_k(X,\Q)\big).

Une version simple d'énoncé du théorème de Lefschetz est que si ce nombre Λf est non nul, alors il existe au moins un point x fixe par f, c'est-à-dire tel que f(x) = x.

Remarques :

  • toute application homotope à f aura alors même nombre de Lefschetz donc aura aussi au moins un point fixe ;
  • la réciproque est fausse : Λf peut être nul même si f a des points fixes.

Une version plus forte du théorème, aussi connue sous le nom de théorème de Lefschetz-Hopf[3], est que si l'ensemble Fix(f) des points fixes de f est fini, alors le nombre de Lefschetz de f est la somme de leurs indices i(f,x)[4] :

\Lambda_f=\sum_{x\in{\rm Fix}(f)}i(f,x).

Lien avec la caractéristique d'Euler[modifier | modifier le code]

L'application identité d'un CW-complexe fini X induit, sur chaque espace d'homologie Hk(X, ℚ), l'endomorphisme identité, dont la trace est la dimension de cet espace. Ainsi, le nombre de Lefschetz de l'application identité de X est la somme alternée des nombres de Betti de X, qui n'est autre que la caractéristique d'Euler χ(X) :

\Lambda_{{\rm id}_X}=\chi(X).

Lien avec le théorème du point fixe de Brouwer[modifier | modifier le code]

Le théorème du point fixe de Lefschetz généralise celui de Brouwer, selon lequel toute application continue de la boule unité fermée Bn dans elle-même a au moins un point fixe.

En effet, cette boule est compacte et triangulable, tous ses groupes d'homologie sont nuls sauf son H0 et pour toute application continue f : BnBn, l'endomorphisme f de H0(Bn, ℚ) = ℚ est l'identité donc Λf = 1.

Contexte historique[modifier | modifier le code]

Quand il présente son théorème en 1926[1], Lefschetz s'intéresse moins aux points fixes d'une fonction qu'à ce qu'on appelle aujourd'hui les points de coïncidence de deux fonctions f et g, c'est-à-dire les points x tels que f(x) = g(x).

Le nombre de coïncidence de Lefschetz Λf,g de deux applications f et g, d'une variété orientable X vers une variété orientable Y de même dimension, est défini par

\Lambda_{f,g}=\sum (-1)^k{\rm Tr}\left(D_X\circ g^*\circ D_Y^{-1}\circ f_*|H_k(X,\Q)\right)

f est comme ci-dessus, g est l'application induite par g sur la cohomologie à coefficients rationnels, et DX et DY sont les isomorphismes de dualité de Poincaré pour X et Y.

Lefschetz démontre que si Λf,g est non nul, alors f et g coïncident en au moins un point. Il remarque en corollaire (en prenant Y = X et g = idX) ce que nous appelons son théorème du point fixe.

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Lefschetz fixed-point theorem » (voir la liste des auteurs)

  1. a et b (en) Solomon Lefschetz, « Intersections and transformations of complexes and manifolds », Trans. Amer. Math. Soc., vol. 28, no 1,‎ 1926, p. 1-49 (lire en ligne)
  2. (en) Solomon Lefschetz, « On the fixed point formula », Ann. Math., vol. 38, no 4,‎ 1937, p. 819-822 (DOI 10.2307/1968838)
  3. (en) Heinz Hopf, « A new proof of the Lefschetz formula on invariant points », PNAS, vol. 14, no 2,‎ 1928, p. 149-153 (lire en ligne)
  4. (en) Albrecht Dold, Lectures on Algebraic Topology, Springer, coll. « Grund. math. Wiss. (de) » (no 200),‎ 1980, 2e éd. (ISBN 978-3-540-10369-1, lire en ligne), Proposition VII.6.6

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Lien externe[modifier | modifier le code]

(en) « Lefschetz formula », dans Michiel Hazewinkel, Encyclopædia of Mathematics, Springer,‎ 2002 (ISBN 978-1556080104, lire en ligne)