Théorème des deux lunules

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Les lunules sont en bleu.

Le théorème des deux lunules est un ancien théorème de géométrie plane.

Histoire[modifier | modifier le code]

Ce théorème, très ancien, a été démontré par Hippocrate de Chios, qui étudia aussi la duplication du cube, c’est-à-dire le calcul de la racine cubique de 2 . Les deux lunules sont aussi appelées lunules d'Hippocrate. Au [[]], il cherchait alors la quadrature du cercle et pensait que la quadrature de ses lunules allait le rapprocher du but[1].

Définition[modifier | modifier le code]

Figure géométrique limitée par deux arcs de cercles, une lunule est une portion de surface délimitée par deux cercles non concentriques de rayons différents, formant un ménisque en forme de croissant de lune. Une lunule est une portion de surface délimitée par deux cercles non concentriques de rayons différents, formant un croissant de lune en forme de ménisque : convexe d’un côté et concave de l’autre.

Énoncé[modifier | modifier le code]

Soit le triangle ABC rectangle en B et \mathcal{C} le cercle circonscrit à ABC (de diamètre AC).

La lunule L_{BC} est la figure formée par le demi-disque de diamètre BC extérieur au triangle ABC, auquel on enlève son intersection avec le disque délimité par \mathcal{C}.

La lunule L_{BA} est la figure formée par le demi-disque de diamètre BA extérieur au triangle ABC, auquel on enlève son intersection avec le disque délimité par \mathcal{C}.

Alors la somme des aires de L_{BC} et de L_{BA} (en bleu sur la figure) est égale à l'aire du triangle ABC (en vert).

Démonstration[modifier | modifier le code]

Soit un triangle ABC rectangle en B

Les deux petites parties blanches représentent ce qui reste du demi-disque de diamètre AC quand on le prive du triangle ABC. La somme de leurs aires est donc  \text{Aire}(AC)-\text{Aire}(ABC).

Les deux lunules sont les deux demi-disques de diamètre AB et BC privés de ces parties blanches. La somme de leurs aires est donc

\begin{align}\text{Aire}(L_{BC})+\text{Aire}(L_{BA}) & =\text{Aire}(AB) + \text{Aire}(BC)-\left[\text{Aire}(AC)-\text{Aire}(ABC)\right]\\&=\left[\text{Aire}(AB) + \text{Aire}(BC)-\text{Aire}(AC)\right]+\text{Aire}(ABC).\end{align}

Pour montrer le théorème, il suffit donc de montrer que  \text{Aire}(AB)+\text{Aire}(BC)-\text{Aire}(AC)=0, c'est-à-dire que la somme des aires des deux demi-disques de diamètre AB et BC est égale à l'aire du demi-disque de diamètre AC.

Or le théorème de Pythagore nous dit que

AC^2 = AB^2+BC^2.\,

Donc en multipliant par \frac\pi8 on a

\frac12\pi\left(\frac{AC}2\right)^2=\frac12\pi\left(\frac{AB}2\right)^2+\frac12\pi\left(\frac{BC}2\right)^2

ce qui est l'égalité des aires recherchée.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Jean-Étienne Montucla, Histoire des recherches sur la quadrature du cercle (1754) (Chap. II, sections IV et V)

Article connexe[modifier | modifier le code]