Théorème de prolongement de M. Riesz

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Le théorème de prolongement de M. Riesz a été démontré par le mathématicien Marcel Riesz lors de son étude du problème des moments.

Formulation[modifier | modifier le code]

Dans un espace vectoriel réel E, soient F un sous-espace vectoriel et K un cône convexe (en).

Une forme linéaire

\varphi:F\to\R

est dite K-positive si

\forall x\in K\cap F,\quad\varphi(x)\ge0.

Un prolongement K-positif de φ est une forme linéaire

\psi:E\to\R\quad\text{telle que}\quad\psi|_F=\varphi\quad\text{et}\quad\forall x\in K,~\psi(x)\ge0.

Il n'en existe pas toujours : déjà en dimension 2, pour

E=\C,\quad F=\R,\quad K=\R^+{\rm e}^{{\rm i}[0,\pi[}\quad\text{et}\quad\forall x\in\R,~\varphi(x)=x,

φ n'a pas de prolongement K-positif.

Cependant, une condition suffisante d'existence d'un prolongement K-positif est :

K+F=E.

Démonstration[modifier | modifier le code]

Par récurrence transfinie, il suffit de considérer le cas E = F⊕ℝy.

Dans ce cas, étendre linéairement φ : F → ℝ en ψ : E → ℝ revient à choisir un réel a et à poser

\forall f\in F,~\forall\lambda\in\R,~\qquad\psi(f+\lambda y)=\varphi(f)+\lambda a.

En considérant les fy qui appartiennent à K et en distinguant deux cas suivant le signe de λ, la condition sur a pour que la K-positivité de φ se transmette à ψ s'écrit alors :

\sup\varphi((y-K)\cap F)\le a\le\inf\varphi((y+K)\cap F).

(Remarquons que comme y et –y appartiennent à E = K + F = K – F par hypothèse, les deux ensembles φ((y – K)∩F) et φ((y + K)∩F) sont non vides, si bien que la borne supérieure du premier appartient à ]–∞, +∞] et la borne inférieure du second à [–∞, +∞[.)

Le choix d'un tel réel a est donc possible dès que

\forall f,f'\in F,\qquad\text{si}\quad y-f\in K\quad\text{et}\quad f'-y\in K\qquad\text{alors}\quad\varphi(f)\le\varphi(f')

et cette condition est assurée par la K-positivité de φ car sous les hypothèses ci-dessus, le vecteur f ' – f appartient à F∩K.

Corollaire : théorème de prolongement de Krein[modifier | modifier le code]

Dans un espace vectoriel réel E, soient K un cône convexe et x un vecteur tel que

K+\R x=E\qquad\text{et}\qquad x\notin -K.

Alors il existe sur E une forme linéaire K-positive ψ telle que ψ(x) = 1.

Références[modifier | modifier le code]

Article connexe[modifier | modifier le code]

Théorème de Hahn-Banach