Théorème de plongement de Whitney

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En géométrie différentielle, le théorème de plongement de Whitney fait le lien entre les notions de variété abstraite et de sous-variété de l'espace vectoriel réel Rn : toute variété différentielle de dimension m peut être plongée dans l'espace euclidien de dimension 2m. Cette valeur 2m peut bien sûr être diminuée dans certains exemples particuliers, mais pour l'exemple de l'espace projectif réel de dimension m=2^k, la constante 2m est optimale.

Remarque historique[modifier | modifier le code]

La preuve du théorème, en 1936, fut l'occasion pour Hassler Whitney de donner la première formulation complète du concept de variété différentielle, concept déjà utilisé de façon implicite dans les travaux de Riemann, les travaux sur les groupes de Lie, et en relativité générale depuis de nombreuses années. Cette formulation utilisa et permit de dépasser celle de Hermann Weyl dans son livre de 1913, Die Idee der Riemannschen Fläche (Le concept de surface de Riemann).

Optimalité[modifier | modifier le code]

Soit une variété différentielle M de dimension m, plongée dans l'espace Rm+n. Le fibré normal est un fibré vectoriel de base M et de rang n, dont la classe totale de Stiefel-Whitney \bar w est l'inverse de la classe totale de Stiefel-Whitney w du fibré tangent de M. Les identités \bar w_i=0 pour i\ge n impliquent compte tenu de w fixé des contraintes sur M dépendant de la topologie globale de M.

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