Théorème de plongement de Nash

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En géométrie différentielle, le théorème de plongement de Nash, dû au mathématicien John Forbes Nash, affirme que toute variété riemannienne peut être plongée de manière isométrique dans un espace euclidien.

« De manière isométrique » veut dire « conservant la longueur des courbes ». Une conséquence de ce théorème est que toute variété riemannienne peut être vue comme une sous-variété d'un espace euclidien.

Il existe deux théorèmes de plongement de Nash :

  • Le premier (1954), portant sur les variétés de classe C1. Il est peu intuitif mais se démontre facilement.
  • Le second (1956), portant sur les variétés de classe Ckk ≥ 3. Celui-ci est plus intuitif que le premier, mais se démontre difficilement.

Théorème de plongement C1 (Nash-Kuiper)[modifier | modifier le code]

Soient (M, g) une variété riemannienne de dimension m et f un plongement lisse et non expansif de M dans un espace euclidiennn ≥ m+1. Alors pour tout ε>0, il existe un plongement f_\epsilon de M dans ℝn ayant les propriétés suivantes :

  1. f_\epsilon est de classe C1,
  2. f_\epsilon est isométrique, i.e. pour tous vecteurs v,w de l'espace tangent à M en un point x on a g(v,w)=\langle df_\epsilon(v),df_\epsilon(w)\rangle où < , > est le produit scalaire canonique de ℝn.
  3. |f(x)-f_\epsilon(x)|<\epsilon pour tout point x de M.

Ce théorème a beaucoup de conséquences contre-intuitives. En particulier, d'après le théorème de plongement de Whitney, toute variété riemannienne compacte de dimension m admet un plongement isométrique de classe C1 dans une boule arbitrairement petite de l'espace euclidien de dimension 2m.

Par exemple : toute surface orientée et fermée peut être C1-plongée dans une boule arbitrairement petite de ℝ3 (d'après la formule de Gauss-Bonnet, cela n'est plus vrai pour les plongements de classe C3 ; la question est ouverte pour les plongements C2).

Théorème de plongement Ck[modifier | modifier le code]

Soient (M, g) une variété riemannienne de dimension m (analytique ou de classe Ck avec k ≥ 3). Alors il existe un nombre n (n=m(m+1)(3m+11)/2 suffit, et même n=m(3m+11)/2 si M est compacte[1]) et un plongement injectif  f de M dans ℝn, également analytique ou de classe Ck, tel que pour tous vecteurs v,w de l'espace tangent à M en un point x on ait :

g(v,w)=\langle df_\epsilon(v),df_\epsilon(w)\rangle.

Note et références[modifier | modifier le code]

  1. (en) Jia-Xing Hong, Isometric Embedding of Riemannian Manifolds in Euclidean Spaces, AMS,‎ 2006 (ISBN 978-0-82184071-9, lire en ligne), xi
  • (en) N. H. Kuiper, « On C1-isometric imbeddings I », dans Nederl. Akad. Wetensch. Proc. Ser. A., vol. 58, 1955, p. 545–556
  • (en) John Nash, « C1-isometric imbeddings », dans Annals of Mathematics, vol. 60, 1954, p. 383–396
  • (en) John Nash, « The imbedding problem for Riemannian manifolds », dans Annals of Mathematics, vol. 63, 1956, p. 20–63
  • (en) John Nash, « Analyticity of the solutions of implicit function problem with analytic data », dans Annals of Mathematics, vol. 84, 1966, p. 345–355

Lien externe[modifier | modifier le code]

Sujet de l'épreuve d'analyse du concours externe de l'agrégation de mathématiques de 1997