Théorème de la moyenne

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En analyse réelle, le théorème de la moyenne est un résultat classique concernant l'intégration des fonctions continues d'une variable réelle, selon lequel la moyenne d'une fonction continue sur un segment se réalise comme valeur de la fonction.

Énoncé[modifier | modifier le code]

Théorème — Pour toute fonction f à valeurs réelles, définie et continue sur un segment [a, b], avec a < b, il existe un réel c compris entre a et b (a et b étant exclus) vérifiant :

f(c)=\frac1{b-a}\int_a^b f(x)~\mathrm dx.

L'intégrale est ici définie au sens de Riemann (mais f étant supposée continue, une forme plus simple d'intégration, comme celle utilisée par Cauchy, peut être employée) ; si on admet le théorème fondamental de l'analyse, le théorème de la moyenne se confond avec le théorème des accroissements finis.

On n'en utilise souvent que la conséquence plus faible suivante, connue sous le nom d’inégalité de la moyenne :

Théorème — Si f est continue sur [a,b], avec a ≤ b et si pour tout x de cet intervalle, on a :
m \le f(x) \le M,
alors
m\,(b-a) \le \int_{a}^{b} f(x)\, \mathrm dx \le M\,(b-a).

(ce dernier résultat est encore valable pour des fonctions intégrables quelconques)

Remarques[modifier | modifier le code]

  • Graphiquement, une interprétation de ce théorème est que l'aire algébrique sous la courbe représentative de f est égale à celle d'un rectangle de base [a, b], et de hauteur un point moyen de la courbe.
  • Ce théorème s'étend aux fonctions réelles de plusieurs variables sur un domaine compact et connexe par les intégrales multiples.
  • Le point c ne dépend pas continûment de f.[réf. nécessaire] Le théorème de la moyenne énonce l'existence d'un réel c mais ne donne aucune information sur sa dépendance en la fonction f.
  • L'hypothèse de continuité est essentielle. Par exemple pour [a, b] = [0, 1] en posant f(x) = 1 si x < 1/2 et f(x) = 0 sinon, la valeur moyenne de f vaut 1/2 donc n'est pas réalisée comme valeur de f.

Démonstration[modifier | modifier le code]

En utilisant le théorème fondamental de l'analyse, ou alors en court-circuitant la théorie de l'intégrale de Riemann et en prenant, comme définition de l'intégrale d'une fonction continue sur un intervalle, la variation sur cet intervalle de l'une quelconque de ses primitives (donc en admettant qu'il en existe), le théorème de la moyenne devient une simple reformulation du théorème des accroissements finis.

En effet, si F est une primitive de f, alors le théorème des accroissements finis pour F fournit l'existence d'un réel c strictement compris entre a et b tel que

F'(c)=\frac{F(b)-F(a)}{b-a}\ ,

ce qui est le résultat souhaité puisque F'=f\, et F(b)-F(a)=\int_a^b f(x)\, \mathrm dx.

Pour une démonstration plus « directe », cf. généralisation ci-dessous en posant g(x) = 1.

Généralisation[modifier | modifier le code]

De même que le théorème de la moyenne est une version intégrale du théorème des accroissement finis, sa généralisation suivante est une version intégrale du théorème des accroissement finis généralisé :


Pour toutes fonctions d'une variable réelle f et g continues sur le segment [a, b], avec a < b, g gardant un signe constant sur [a, b], il existe un réel c de ]a, b[ tel que

\int_a^bf(x)g(x)~\mathrm dx=f(c)\int_a^bg(x)~\mathrm dx.

Remarque. L'hypothèse que g garde un signe constant est indispensable : par exemple pour [a, b] = [–1, 1] et f(x) = g(x) = x, il n'existe aucun c tel que 2/3 = c × 0.