Théorème de l'élément primitif

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En mathématiques, et plus spécifiquement en algèbre, le théorème de l'élément primitif est un des théorèmes de base de la théorie des corps. Il stipule que toute extension finie séparable est simple, c'est-à-dire engendré par un seul élément, appelé élément primitif.

Une extension algébrique L d'un corps K est dite séparable si le polynôme minimal de tout élément de L n'admet que des racines simples (dans une clôture algébrique de K). On démontre l'équivalence de cette définition avec la définition suivante: Une extension finie est séparable si et seulement si le nombre de morphismes de l'extension dans la clôture algébrique laissant invariant le corps de base est égal au degré de l'extension.

Le théorème de l'élément primitif, énoncé pour la première fois par Abel dans un mémoire posthume[1], et démontré par Évariste Galois[2], peut être utilisé pour simplifier l'exposé de la théorie de Galois, quoique la plupart des exposés modernes suivent la démarche indépendante d'Artin ; c'est d'ailleurs par ce théorème que commence la démonstration originale de Galois. À l'inverse, comme dans la méthode d'Artin, on peut regarder ce théorème comme une conséquence simple de cette théorie, fait lui aussi reconnu explicitement par Galois[3].

Un exemple explicite[modifier | modifier le code]

Dans certains cas simples d'extensions, l'on peut construire explicitement un élément primitif[4]. Ainsi, prenons K = ℚ et L = ℚ(2, 3) (L est une extension séparable de K, voir ci-dessous) ; montrons que L = ℚ(α), avec α = 2 + 3. Il est clair qu'il suffit de démontrer que 2 est dans ℚ(α) (car 3 = α – 2 le sera alors aussi), or en développant l'équation (α – 2)2 = 3, on trouve 2 = (α2 – 1)/(2α).

En général, en supposant pour simplifier que K est infini et que L soit le corps de décomposition d'un polynôme f, il a été démontré par Galois que l'on peut toujours trouver un élément primitif pour L/K de la forme \theta=a_1\alpha+a_2\alpha' +...+a_n \alpha^{(n)}, où a_i\in K et \alpha^{(i)} sont les racines de f. Il suffit pour cela de choisir les a_i de telle façon que l'expression algébrique définissant \theta prenne des valeurs différentes pour chaque permutation des \alpha, \alpha',\ldots,\alpha^{(n)}, ce qui est toujours possible car K est infini. Vu que toute extension normale sur K est le corps de décomposition d'un tel polynôme f, cette propriété reste vraie en général pour les extensions normales et séparables. Néanmoins, cette construction reste toute théorique, à moins de disposer d'une représentation du corps de décomposition de f.

Histoire et usage[modifier | modifier le code]

Le théorème de l'élément primitif, tout d'abord cité sans démonstration dans un mémoire posthume d'Abel[1], fut démontré et employé par Galois pour exposer sa théorie dans son mémoire de 1832[2]. Cette démonstration ne fut publiée qu'en 1846 par Liouville, dans le "Journal de mathématiques", avec le reste du mémoire[5].

Il est, dans la théorie des corps, utilisé dans une quantité de théorèmes et de démonstrations. Mais l'exposition de tels résultats dépasse le cadre de cet article.

À quelques exceptions près, la méthode utilisée par Galois pour établir sa théorie, basée sur le théorème de l'élément primitif, a généralement été abandonnée au profit de la démarche d'Artin, essentiellement fondée sur le décompte du nombre des extensions des monomorphismes dans les extensions finies. D'un point de vue épistémologique, on est en droit de s'interroger sur les raisons de l'abandon du théorème de l'élément primitif comme principe simplificateur de la théorie de Galois. D'un côté, la présentation de cette théorie au moyen du théorème de l'élément primitif peut être perçue comme plus simple et plus légère pour l'esprit, lui offrant toute la simplicité conceptuelle possible. D'un autre côté, la démonstration de ce théorème, si on la veut complètement indépendante de la méthode d'Artin, peut sembler devoir faire intervenir un certain nombre de résultats de la théorie des équations[6] (le théorème des fonctions symétriques par exemple), ainsi qu'un jeu d'une finesse assez complexe entre les variables[7]. La méthode d'Artin, qui ne fait pas intervenir de lemmes "extérieurs" et dont les démonstrations sont relativement faciles a suivre, peut alors être perçue comme plus rigoureuse et d'une simplicité démonstrative supérieure.

D'autre part, on ne peut ignorer l'aspect théorique de la démarche d'Artin : plutôt que d'utiliser des théorèmes ad hoc pour comprendre la géométrie d'un objet, un théoricien préfèrera en général obtenir ces théorèmes comme une conséquence de l'étude de cette géométrie. En l'occurrence, il est plus satisfaisant, d'un point de vue purement théorique, d'obtenir des théorèmes tels que le théorème des fonctions symétriques ou celui de l'élément primitif comme conséquence de la théorie de Galois, établie au moyen de considérations géométriques seulement (groupe d'automorphismes), que de déduire la théorie de ces théorèmes.

On doit d'ailleurs observer que l'idée essentielle de cette démarche avait été parfaitement reconnue par Galois, comme le montre ce commentaire de Galois lui-même, faisant suite à la démonstration du théorème principal de sa théorie :

"Je dois observer que j'avais d'abord démontré le théorème autrement, sans penser à me servir de cette propriété très simple des équations, propriété que je regardais comme une conséquence du théorème. C'est la lecture d'un mémoire [fragment de ligne indéchiffrable, possiblement "d'Abel" ou "de Libri"] qui m'a suggéré [fragment de ligne indéchiffrable, reconstitution possible: "l'idée de la démonstration".]"[8]

Énoncé du théorème[modifier | modifier le code]

Toute extension séparable finie est simple[9].

Remarque : Un théorème équivalent, et de portée peut-être plus générale est[10],[11] :

Une extension finie est simple si et seulement si elle contient un nombre fini de corps intermédiaires.

Démonstration[modifier | modifier le code]

Une démonstration constructive de l'existence d'un élément primitif dans le cas général est élémentaire[4]. En voici une moins explicite mais plus rapide.

Si K est un corps fini, alors le groupe multiplicatif associé à L est cyclique. Si α est choisi parmi les éléments générateurs du groupe alors K(α) = L et le théorème est démontré, sans même utiliser l'hypothèse de séparabilité.

Supposons donc désormais que K est infini.

Soit n = [L:K]. Par séparabilité, il existe n morphismes de L dans sa clôture algébrique Ω laissant K invariant. Considérons Vi,j l'ensemble des vecteurs de L ayant même image par le ie et le je morphisme. Vi,j est un sous-espace vectoriel différent de L. Une propriété des réunions des espaces vectoriels montre que la réunion des Vi,j n'est pas égale à L. Il existe donc un élément α de L qui n'est élément d'aucun Vi,j, c'est-à-dire dont les images par les n morphismes sont distinctes. Son polynôme minimal sur K admet donc n racines distinctes. Ainsi, la dimension du sous-espace vectoriel K(α) est supérieure ou égale à la dimension n de l'espace vectoriel L. Les deux espaces sont donc égaux.

Généralisation[modifier | modifier le code]

Le théorème de la base normale garantit que si L/K est une extension finie galoisienne de corps commutatifs, de groupe de Galois G, alors il existe un élément α de L dont l'orbite est une base du K-espace vectoriel L. En particulier, puisque les conjugués de α sont racines de son polynôme minimal, deg (α,K) = [L:K], donc α est un élément primitif de L/K. Mais c'est un élément primitif qui jouit d'une propriété supplémentaire particulièrement utile.

L'on doit cependant noter que le théorème de la base normale exige que L/K soit normale (en plus d'être séparable). Le théorème de l'élément primitif, lui, n'est pas assujetti à cette contrainte supplémentaire.

La démonstration originale de Galois[modifier | modifier le code]

Le but de cette section n'est pas de retranscrire exactement la démonstration de Galois[2] dans les termes et notations où elle fut énoncée, mais plutôt de traduire cette démonstration en termes modernes, tout en en suivant pas à pas les étapes.

Cette démonstration prend place dans un cadre où K est un corps infini (un corps intermédiaire entre les rationnels et les nombres complexes originellement), et L est le corps de décomposition d'un polynôme P à coefficients dans K, sans racines multiples. Bien entendu, la notion de corps n'existait pas du temps de Galois, mais c'est ainsi qu'on traduit en langage moderne ce qu'il entend par des expressions telles que "adjoindre les racines d'une équation" aux rationnels, ou bien "être rationnellement connu".

D'autre part, sa supposition que L est un corps de décomposition n'est pas aussi restrictive qu'on pourrait le penser : d'abord, toute extension finie, normale et séparable, est le corps de décomposition d'un polynôme sans racines multiples, comme on le voit en multipliant successivement les polynômes minimaux sur K d'un système minimal de générateurs de l'extension L/K. Enfin, en supposant démontré le théorème de l'élément primitif dans le cas ou L/K est séparable et normale, il suffirait, pour se débarrasser de l'hypothèse de normalité, de considérer le clos normal de L et d'utiliser ce petit théorème de la théorie des corps qui assure que toute sous-extension d'une extension algébrique simple est simple.

Dans son mémoire, Galois utilise implicitement quelques lemmes de base de la théorie des équations (aujourd'hui intégrée dans la théorie des corps), d'ailleurs bien connus de son temps, à l'exception d'un seul discuté ci-dessous. Trois d'entre eux sont explicités ci-dessous :

Lemme 1[modifier | modifier le code]

Si P(X_1,X_2,...,X_n) est un polynôme de n variables, non identiquement nul, et si K est infini, alors il existe a_1,a_2,\ldots,a_n\in K tels que P(a_1,a_2,\ldots,a_n)\ne 0.

En effet, on peut considérer P comme un polynôme de la variable X_1 sur le corps K(X_2,\ldots,X_n). Comme ce polynôme n'a qu'un nombre fini de racines, tandis que K est infini, il existe a_1 tel que P(a_1,X_2,\ldots,X_n) ne soit pas identiquement nul. En considérant de même P(a_1,X_2, \ldots, X_n) comme un polynôme de la variable X_2 sur le corps K(a_1,X_3,\ldots,X_n), et en faisant de même pour les autres variables, on démontre de proche en proche l'assertion proposée.

Lemme 2[modifier | modifier le code]

Si \zeta_1, \zeta_2,\ldots, \zeta_n sont les n racines d'un polynôme P irréductible sur K, et si f(\zeta_1,\ldots,\zeta_n) est une expression polynomiale symétriques en les \zeta_2,\ldots,\zeta_n, alors f=F(\zeta_1), pour un certain polynôme F à coefficient dans K.

La preuve dépend du théorème fondamental des polynômes symétriques (en), qui implique que f est fonction de \zeta_1 et des fonctions symétriques des \zeta_2,\ldots,\zeta_n. Ces fonction symétriques sont, au signe près, égales aux coefficients du polynôme (X-\zeta_2)(X-\zeta_3)\cdots(X-\zeta_n). Or ce polynôme est égal à P/(X-\zeta_1), donc ses coefficients appartiennent à K(\zeta_1) en vertu de la division euclidienne.

Lemme 3[modifier | modifier le code]

Ce lemme (ou une méthode équivalente) est nécessaire pour expliciter un point délicat de la démonstration de Galois, dont la preuve a été omis par ce dernier. Cette partie de la restitution de la démonstration est donc essentiellement conjecturale. Il stipule que si \zeta_1,\ldots,\zeta_n sont les n racines d'un polynôme irreductible P sur K, alors il existe, pour tout i,j, un K-automorphisme \varphi de L/K qui échange \zeta_i et \zeta_j. De nos jour, on peut démontrer cette assertion en utilisant d'abord le fait que K(\zeta_i) et K(\zeta_j) sont isomorphes à K(X)/(P), ce qui permet d'étendre l'automorphisme identité en un monomorphisme de corps qui échange \zeta_i avec \zeta_j, puis en étendant de proche en proche (de façon quelconque) ce monomorphisme par le même moyen, jusqu'à obtenir l'automorphisme désiré. Pour Galois, qui ne pouvait définir la notion "d'automorphisme" (le concept de correspondance n'était pas même formulé de son temps), il s'agissait de "permutations" des racines dans une expression algébrique. Il se peut qu'il entrevoyait clairement que ces "permutations" se répercutaient tout au long des calculs, pour donner des opérations homomorphiques. Il se peut aussi (et c'est même plus probable) qu'il avait raisonné dans une extension finie du type K(X_1,\ldots,X_n)/K(\sigma_1,\ldots,\sigma_n), où les \sigma_i sont les fonctions symétriques des X_i. Par un jeu assez subtil (mais tout a fait à la portée de Galois) entre permutations des variables et substitution des n racines \zeta_i d'un polynôme irréductible à la place de ces variables, il pourrait avoir justifié le point délicat de la démonstration sans avoir recours à une quelconque intuition du théorème d'extension des automorphismes. Quoi qu'il en soit, par souci de commodité, c'est ce théorème d'extension qui sera utilisé dans l'exposition de sa preuve.

Démonstration[modifier | modifier le code]

Ceci étant posé, soient \zeta_1,\zeta_2,\ldots,\zeta_n les n racines du polynôme P dont L est le corps de décomposition. D'abord, on choisit un polynôme R(X_1,X_2,\ldots,X_n) sur K qui prenne des valeurs différentes pour chaque substitution d'une permutation des \zeta_1,\ldots,\zeta_n; par exemple (se contente de dire Galois), on peut choisir R= a_1X_1+a_2X_2+\cdots a_nX_n, où les a_i sont convenablement choisis. Pour justifier cette assertion, on utilise le lemme 1: en définissant le polynôme R'(A_1,\ldots,A_n) par R'=A_1\zeta_1+\ldots A_n\zeta_n, il suffit de considérer le polynôme produit des polynômes {R'}^{\sigma_i}-{R'}^{\sigma_j}\ (i\ne j), où \{\sigma_i\} désigne l'ensemble des permutations de 1,2,\ldots n, et {R'}^{\sigma_k} le polynôme obtenu en appliquant la permutation \sigma aux indexes des variables \zeta_i dans R'.

Il s'agit maintenant de démontrer que l'élément \theta=R(\zeta_1,\ldots,\zeta_n) est l'élément primitif souhaité. Une quantité littérale V étant donnée, on construit l'expression algébrique E=\Pi_{\sigma\in G} (V-R(\zeta_{\sigma(1)},\ldots,\zeta_{\sigma(n)}), où G est l'ensemble des permutations de 1,2,\ldots,n qui laissent fixe 1. Autrement dit, E est le produit des termes V-R où l'on permute les \zeta_i dans R de toutes les façons possibles, en laissant toutefois fixe \zeta_1. Compte tenu du lemme 2, E=F(V,\zeta_1) pour un certain polynôme F(V,X) sur K.

Maintenant, il est clair que F(\theta,\zeta_1)=0 puisque G contient évidemment la permutation identité. Galois affirme alors qu'il est impossible que F(\theta, \zeta_i)=0 pour i\ne 1, sans quoi (dit-il), R prendrait deux valeurs identiques pour deux permutations différentes, ce qui est contre l'hypothèse. Ici, c'est le lemme 3 qui est utilisé par Galois : on se donne un automorphisme \varphi qui échange \zeta_1 et \zeta_i, et on l'applique aux deux membres de l'équation F(V,\zeta_1)=\Pi_{\sigma\in G} (V-R(\zeta_{\sigma(1)},\ldots,\zeta_{\sigma(n)}). En notant abusivement par la même lettre \varphi la permutation de 1,\ldots n qui représente \varphi en terme de permutations des \zeta_i, on obtient F(V,\zeta_i)= \Pi_{\sigma\in G} (V-R(\zeta_{\varphi\sigma(1)},\ldots,\zeta_{\varphi\sigma(n)}). Comme \varphi\sigma(1)=i\ne 1, il est impossible (en vertu du choix de R) qu'un des termes R(\zeta_1,\ldots)-R(\zeta_{\varphi\sigma(1)},\ldots) soit égal à 0, et donc que F(\theta,\zeta_i)=0, ce qui explique l'assertion de Galois.

Finalement, vu que F(\theta,\zeta_1)=0, le polynôme F(\theta,X) d'une variable X a un facteur commun avec P. Ce facteur ne peut-être que X-\zeta_1, puisque F(\theta,\zeta_i)\ne 0 pour tout i\ne 1. Ainsi, X-\zeta_1 s'obtient par simple extraction de P.G.C.D entre le polynôme P et F(\theta, X), et \zeta_1 est donc une fraction rationnelle de \theta sur K.

On démontrerait de la même manière que \zeta_i s'exprime rationnellement en fonction de \theta, pour tout autre i>1, donc K(\zeta_1,\ldots,\zeta_n)=K(\theta).

Remarque[modifier | modifier le code]

Sans même supposer la normalité de L/K, la démonstration de Galois peut être largement améliorée et simplifiée, en se basant uniquement sur le théorème des fonctions symétriques : Par induction, il suffit de démontrer que toute extension de la forme L=K(\alpha,\beta) est simple. Soient \alpha_1,\ldots,\alpha_m les conjugués de \alpha sur K, avec \alpha_1=\alpha, et \beta_1,\ldots,\beta_n les conjugués de \beta sur K, avec \beta_1=\beta. Puisque L/K est séparable, \alpha_i\ne \alpha_j et \beta_i\ne \beta_j pour tout i\ne j. Le polynôme R(X)=\Pi_{(i,j)\ne (i',j')} \big(\alpha_i - \beta_jX - (\alpha_{i'}-\beta_{j'}X)\big) n'est pas identiquement nul, donc, puisque K est infini, il existe \lambda\in K tel que les \alpha_i+\lambda\beta_j soient tous distincts les uns des autres. Posons \theta = \alpha+\lambda \beta. On forme l'expression E=\Pi_j (V-\alpha-\lambda \beta_j), qui, étant symétrique en les \beta_j, est égale à P(V,\alpha) pour un certain polynôme P(V,X) sur K (théorème des fonctions symétriques). On a évidemment P(\theta, \alpha)=0, et en vertu du choix de \lambda, il est clair que P(\theta,\alpha_i)\ne 0 pour tout i > 1; donc X-\alpha peut être obtenu par simple extraction de P.G.C.D. entre P(\theta,X) et le polynôme minimal de \alpha sur K. Ainsi, \alpha, et par suite \beta = (\theta-\alpha)/\lambda est une fonction rationnelle de \theta : K(\alpha,\beta)=K(\theta).

Ici, le point délicat de la démonstration de Galois a été "court-circuité", parce qu'on a supposé que les \beta_i étaient les conjugués de \beta sur K et non pas sur K(\alpha).

Notes et références[modifier | modifier le code]

Notes[modifier | modifier le code]

  1. a et b Fait rappelé par Galois dans son mémoire (voyez les "Œuvres", référence ci-dessous p. 37 suite au Lemme III)
  2. a, b et c Voyez les "Œuvres mathématiques d'évariste Galois", publiée sous les auspices de la société mathématique de France, Paris, 1897, Lemme III p. 36-37.
  3. Voyez la section "Histoire et motivation."
  4. a et b On en trouvera une empruntée à van der Waerden, dans (en) Ken Brown, « The Primitive Element Theorem », sur université Cornell,‎ 2010.
  5. Voyez les "Œuvres", préface de Picard
  6. Mais voyez la démonstration en note 4.
  7. On pourra observer la dextérité remarquable de Galois dans la section "Preuve originale de Galois".
  8. Cette note de Galois est absente de la plupart des éditions des oeuvres de Galois. C'est dans un feuillet détaché et a demi déchiré que Tannery a retrouvé un premier jet de la preuve de la proposition I (l'équivalent de ce qu'on appelle aujourd'hui le théorème de Galois), dont une partie sera réintroduite par Galois dans son premier mémoire. Le feuillet commence par la démonstration de la proposition dans le cas particulier où toutes les racines du polynôme sont fonctions rationnelles d'une seule d'entre elles, autrement dit, dans le cas où cette racine est un élément primitif du corps de décomposition du polynôme. Cette démonstration est d'ailleurs biffée, ainsi que les mots "Revenons au cas général". Ensuite, Galois passe à la démonstration du cas général en utilisant le théorème de l'élément primitif. C'est au bas de ce feuillet que Galois a écrit la phrase citée. Voyez les commentaires de Tannery dans "Manuscrits de Évariste Galois", publié par Jules Tannery, Paris, 1908, ed. Gauthier-Villars, p. 11-12.
  9. Théorème de l'élément primitif sur le site les-mathematiques.net
  10. (en) The Primitive Element Theorem sur le site mathreference.com
  11. (en) proof of primitive element theorem de PlanetMath

Références[modifier | modifier le code]