Théorème de Wilson

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Alhazen (965 - 1039) est le premier mathématicien connu pour avoir énoncé le théorème de Wilson.

En mathématiques, plus précisément en arithmétique élémentaire, le théorème de Wilson énonce qu'un entier p plus grand que 1 est premier si et seulement si la factorielle de p – 1 est congrue à –1 modulo p. Cette caractérisation des nombres premiers est assez anecdotique et ne constitue pas un test de primalité efficace. Son principal intérêt réside dans son histoire et dans la relative simplicité de son énoncé et de ses preuves.

Énoncé et exemples[modifier | modifier le code]

Énoncé[modifier | modifier le code]

Théorème de Wilson — Un entier p strictement plus grand que 1, est un nombre premier si et seulement s'il divise (p – 1)! + 1, c'est-à-dire si et seulement si[1] :

(p-1)!+1 \equiv 0 \pmod p.

Ici, le symbole « ! » désigne la fonction factorielle et le symbole « . ≡ . (mod .) » désigne la congruence sur les entiers.

Exemples[modifier | modifier le code]

  • Si p est égal à 2, alors (p – 1)! + 1 est égal à 2, un multiple de 2.
  • Si p est égal à 3, alors (p – 1)! + 1 est égal à 3, un multiple de 3.
  • Si p est égal à 4, alors (p – 1)! + 1 est égal à 7 qui n'est pas multiple de 4.
  • Si p est égal à 5, alors (p – 1)! + 1 est égal à 25, un multiple de 5.
  • Si p est égal à 6, alors (p – 1)! + 1 est égal à 121 qui n'est pas multiple de 6.
  • Si p est égal à 17, alors (p – 1)! + 1 est égal à 20 922 789 888 001, un multiple de 17 car 17 × 1 230 752 346 353 = 20 922 789 888 001.

Le tableau suivant montre les valeurs de p de 2 à 30 , (p − 1)!, et le reste de la division euclidienne de (p − 1)! par p.

La couleur de la ligne est bleue si p est un nombre premier, jaune si p est un nombre composé.

On peut ainsi vérifier que le reste de la division euclidienne de (p − 1)! par p est égale à p-1 sur les lignes bleues, comme l'énonce le théorème de Wilson.

Table des restes modulo p
p (p-1)! (p-1)!\ \bmod\ p
2 1 1
3 2 2
4 6 2
5 24 4
6 120 0
7 720 6
8 5040 0
9 40320 0
10 362880 0
11 3628800 10
12 39916800 0
13 479001600 12
14 6227020800 0
15 87178291200 0
16 1307674368000 0
17 20922789888000 16
18 355687428096000 0
19 6402373705728000 18
20 121645100408832000 0
21 2432902008176640000 0
22 51090942171709440000 0
23 1124000727777607680000 22
24 25852016738884976640000 0
25 620448401733239439360000 0
26 15511210043330985984000000 0
27 403291461126605635584000000 0
28 10888869450418352160768000000 0
29 304888344611713860501504000000 28
30 8841761993739701954543616000000 0

Histoire[modifier | modifier le code]

Le premier texte actuellement connu à faire référence à ce résultat est dû au mathématicien arabe Alhazen (965 - 1039)[2],[3]. Ce théorème est connu à partir du XVIIe siècle en Europe. Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646 - 1716) fait référence à ce résultat sans le démontrer. John Wilson redécouvre ce qu'il croit être une conjecture et en partage la découverte avec son professeur Edward Waring, qui publie cette conjecture en 1770[4],[5].

Trois ans plus tard, Joseph-Louis Lagrange en publie une première démonstration[6] et Leonhard Euler en présente une deuxième[7]. Utilisant les notations de l'arithmétique modulaire, Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855) reformule les démonstrations de Lagrange et d'Euler et en donne une troisième[8].

Démonstrations[modifier | modifier le code]

Tout d'abord, si l'entier p n'est pas premier, il possède un diviseur d tel que 1 < d < p ; alors, (p – 1) ! + 1 n'est pas divisible par d (puisque (p – 1) ! l'est), ni (a fortiori) par p. (On peut même, à titre récréatif, démontrer que pour tout entier composé p > 4, (p – 1) ! est divisible par p.)

Passons à la réciproque. On suppose p premier. L'anneau ℤ/p est alors un corps commutatif, c'est-à-dire que modulo p, les classes de congruence de 1, 2, … , p–1 sont inversibles (il s'agit juste de l'identité de Bézout). On note ce corps Fp. Les démonstrations ci-dessous reprennent le principe des trois démonstrations historiques, mais sont présentées avec la notation « moderne » (introduite par Gauss) des congruences. Elles peuvent[9]se reformuler sans celle-ci.

Démonstration de Lagrange[modifier | modifier le code]

Le groupe Fp* des inversibles du corps Fp étant d'ordre p–1, le théorème de Lagrange sur les groupes implique que ses p–1 éléments sont racines du polynôme Xp–11Fp[X], dont le degré vaut justement p–1. Un autre théorème de Lagrange (concernant les polynômes sur un corps) permet alors d'en déduire la factorisation

X^{p-1}-\overline1=(X-\overline1)(X-\overline2)\dots(X-\overline{p-1})

d'où, par évaluation en p :

-\overline1=\overline{p-1}\ \overline{p-2}\ldots\overline1=\overline{(p-1)!}~

Démonstration d'Euler[modifier | modifier le code]

Euler utilise que le groupe multiplicatif Fp* est cyclique, c'est-à-dire engendré par une classe a particulière, ce qui revient à dire que les p - 1 premières puissances de a (quand l'exposant varie de 0 à p-2) forment les éléments de ce groupe. En faisant leur produit on a donc :

\overline{(p-1)!}=a^0a^1\ldots a^{p-2}=a^n,~

où l'exposant n se calcule comme somme d'une suite arithmétique :

n=\sum_{k=0}^{p-2}k={(p-1)(p-2)\over 2}.~

Le nombre premier p peut être supposé impair (car pour p=2 le théorème se vérifie directement). Ainsi, p–1 ne divise pas n, tandis qu'il divise 2n. Autrement dit, an est d'ordre 2, donc égal à la classe de –1.

Démonstration de Gauss[modifier | modifier le code]

Le principe consiste à éliminer, dans le produit des p–1 éléments de Fp*, chaque produit d'un élément par son inverse, à l'exception des éléments qui sont leur propre inverse : les racines du polynôme X2 - 1=(X – 1)(X + 1) dans le corps Fp, c'est-à-dire la classe de 1 et celle de –1. Lorsqu'on élimine, dans le produit, les paires d'inverses mutuels dont le produit vaut (la classe de) 1, il reste donc uniquement ces deux classes particulières, d'où

\overline{(p-1)!}=\overline{-1}\ \overline1=-\overline 1.~

Généralisation[modifier | modifier le code]

Dans un groupe abélien fini le produit des éléments est égal

  • au neutre si l'ordre du groupe est impair
  • au produit des éléments d'ordre 2 si l'ordre du groupe est pair.

Pour le groupe ((ℤ/pℤ)*,×) , avec p premier impair, on retrouve la version classique .

En effet, son ordre, qui est égal à p–1, est pair et son unique élément d'ordre 2 est la classe (modulo p) de –1.

Notes et références[modifier | modifier le code]

Notes[modifier | modifier le code]

  1. Cette formule est équivalente à (p – 1) ! ≡p – 1 (mod p), puisque –1 ≡p – 1 (mod p).
  2. Alhazen, Opuscula
  3. R. Rashed, Entre arithmétique et algèbre : Recherches sur l'histoire des mathématiques arabes Paris, 1984
  4. Edward Waring, Edward Waring Meditationes Cambridge J. Archdeacon 1770
  5. D. Weeks Meditationes algebraicae Traduction en anglais des travaux d'Edward Waring, Providence RI, 1991
  6. Joseph-Louis Lagrange, Démonstration d'un théorème nouveau concernant les nombres premiers, Nouveaux Mémoires de l'Académie royale des sciences et belles-Lettres de Berlin, vol. 2, pages 125-137 (1771) (publié en réalité en 1773, et incluant la communication de Lagrange de cette même année : cf note 2 p. 499 de : Leonard Euler, de A. P. Juskevic et R. Taton, Correspondance de Leonard Euler avec A. C. Clairaut, J. d'Alembert et J. L. Lagrange, Birkhäuser, 1980).
  7. Leonard Euler, Opuscula Analytica, tome I (1783) p.329-330, présenté à l'Académie de St Petersburg le 15 novembre 1773, selon le Darthmouth College (Enestrom number 560)
  8. Carl Friedrich Gauss, Disquisitiones arithmeticae, 1801 Traduction M. Poullet-Delisle Ed. Courcier 1807 : Recherches arithmétiques p.55–57
  9. Une démonstration « manuelle » posée sous forme d'exercice avec la correction par le site maths-express.com

Référence[modifier | modifier le code]

Pierre Samuel, Théorie algébrique des nombres [détail de l’édition]

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Article connexe[modifier | modifier le code]

Nombre de Wilson

Liens externes[modifier | modifier le code]