Théorème de Wilson

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Alhazen (965-1039) est le premier mathématicien connu pour avoir énoncé le théorème de Wilson.

En mathématiques, plus précisément en arithmétique élémentaire, le théorème de Wilson énonce qu'un entier p plus grand que 1 est premier si et seulement si la factorielle de p – 1 est congrue à –1 modulo p. Cette caractérisation des nombres premiers est assez anecdotique et ne constitue pas un test de primalité efficace. Son principal intérêt réside dans son histoire et dans la relative simplicité de son énoncé et de ses preuves.

Énoncé et exemples[modifier | modifier le code]

Énoncé[modifier | modifier le code]

Théorème de Wilson — Un entier p strictement plus grand que 1 est un nombre premier si et seulement s'il divise (p – 1)! + 1, c'est-à-dire si et seulement si[1] :

(p-1)!+1 \equiv 0 \pmod p.

Ici, le symbole « ! » désigne la fonction factorielle et le symbole « . ≡ . (mod .) » désigne la congruence sur les entiers.

Exemples[modifier | modifier le code]

  • Si p est égal à 2, alors (p – 1)! + 1 est égal à 2, un multiple de 2.
  • Si p est égal à 3, alors (p – 1)! + 1 est égal à 3, un multiple de 3.
  • Si p est égal à 4, alors (p – 1)! + 1 est égal à 7 qui n'est pas multiple de 4.
  • Si p est égal à 5, alors (p – 1)! + 1 est égal à 25, un multiple de 5.
  • Si p est égal à 6, alors (p – 1)! + 1 est égal à 121 qui n'est pas multiple de 6.
  • Si p est égal à 17, alors (p – 1)! + 1 est égal à 20 922 789 888 001, un multiple de 17 car 17 × 1 230 752 346 353 = 20 922 789 888 001.

Histoire[modifier | modifier le code]

Le premier texte actuellement connu à faire référence à ce résultat est dû au mathématicien arabe Alhazen (965-1039)[2],[3]. Ce théorème est connu à partir du XVIIe siècle en Europe. Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646-1716) fait référence à ce résultat sans le démontrer. John Wilson redécouvre ce qu'il croit être une conjecture et en partage la découverte avec son professeur Edward Waring, qui publie cette conjecture en 1770[4],[5].

Trois ans plus tard, Joseph-Louis Lagrange en publie une première démonstration[6] et Leonhard Euler en présente une deuxième[7]. Utilisant les notations de l'arithmétique modulaire, Carl Friedrich Gauss (1777-1855) reformule les démonstrations de Lagrange et d'Euler et en donne une troisième[8].

Démonstrations[modifier | modifier le code]

Tout d'abord, si l'entier p n'est pas premier, il possède un diviseur d tel que 1 < d < p ; alors, (p – 1) ! + 1 n'est pas divisible par d (puisque (p – 1) ! l'est), ni (a fortiori) par p. (On peut même, à titre récréatif, démontrer que pour tout entier composé p > 4, (p – 1) ! est divisible par p.)

Passons à la réciproque. On suppose p premier. L'anneau ℤ/p est alors un corps commutatif, c'est-à-dire que modulo p, les classes de congruence de 1, 2, … , p – 1 sont inversibles (il s'agit juste de l'identité de Bézout). On note ce corps Fp. Les démonstrations ci-dessous reprennent le principe des trois démonstrations historiques, mais sont présentées avec la notation « moderne » (introduite par Gauss) des congruences. Elles peuvent[9]se reformuler sans celle-ci.

Démonstration de Lagrange[modifier | modifier le code]

Le groupe Fp* des inversibles du corps Fp étant d'ordre p – 1, le théorème de Lagrange sur les groupes implique que ses p – 1 éléments sont racines du polynôme Xp–11Fp[X], dont le degré vaut justement p – 1. Un autre théorème de Lagrange (concernant les polynômes sur un corps) permet alors d'en déduire la factorisation

X^{p-1}-\overline1=(X-\overline1)(X-\overline2)\dots(X-\overline{p-1})

d'où, par évaluation en p :

-\overline1=\overline{p-1}\ \overline{p-2}\ldots\overline1=\overline{(p-1)!}~

Démonstration d'Euler[modifier | modifier le code]

Euler utilise que le groupe multiplicatif Fp* est cyclique, c'est-à-dire engendré par une classe a particulière, ce qui revient à dire que les p - 1 premières puissances de a (quand l'exposant varie de 0 à p-2) forment les éléments de ce groupe. En faisant leur produit on a donc :

\overline{(p-1)!}=a^0a^1\ldots a^{p-2}=a^n,~

où l'exposant n se calcule comme somme d'une suite arithmétique :

n=\sum_{k=0}^{p-2}k={(p-1)(p-2)\over 2}.~

Le nombre premier p peut être supposé impair (car pour p = 2 le théorème se vérifie directement). Ainsi, p – 1 ne divise pas n, tandis qu'il divise 2n. Autrement dit, an est d'ordre 2, donc égal à la classe de –1.

Démonstration de Gauss[modifier | modifier le code]

Le principe consiste à éliminer, dans le produit des p – 1 éléments de Fp*, chaque produit d'un élément par son inverse, à l'exception des éléments qui sont leur propre inverse : les racines du polynôme X2 – 1 = (X – 1)(X + 1) dans le corps Fp, c'est-à-dire la classe de 1 et celle de –1. Lorsqu'on élimine, dans le produit, les paires d'inverses mutuels dont le produit vaut (la classe de) 1, il reste donc uniquement ces deux classes particulières, d'où

\overline{(p-1)!}=\overline{-1}\ \overline1=-\overline 1.~

Généralisation[modifier | modifier le code]

Dans un groupe abélien fini noté multiplicativement, le produit des éléments est égal au neutre, sauf s'il existe exactement un élément d'ordre 2, auquel cas le produit est égal à cet élément.

En particulier, le produit des éléments non nuls du corps fini Fpn est toujours égal à –1 (qui vaut 1 si p = 2).

Notes et références[modifier | modifier le code]

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Cette formule est équivalente à (p – 1) ! ≡ p – 1 (mod p), puisque –1 ≡ p – 1 (mod p).
  2. Alhazen, Opuscula.
  3. Roshdi Rashed, Entre arithmétique et algèbre : Recherches sur l'histoire des mathématiques arabes, Paris, 1984.
  4. (la) Edward Waring, Edward Waring Meditationes, Cambridge J. Archdeacon, 1770.
  5. (en) D. Weeks, Meditationes algebraicae, traduction des travaux de Waring, Providence RI, 1991.
  6. Joseph-Louis Lagrange, Démonstration d'un théorème nouveau concernant les nombres premiers, Nouveaux Mémoires de l'Académie royale des sciences et belles-Lettres de Berlin, vol. 2, pages 125-137 (1771) (publié en réalité en 1773, et incluant la communication de Lagrange de cette même année : cf. note 2 p. 499 de : Leonard Euler, de Adolf P. Juskevic et René Taton, Correspondance de Leonard Euler avec A. C. Clairaut, J. d'Alembert et J. L. Lagrange, Birkhäuser, 1980).
  7. Leonard Euler, Opuscula Analytica, tome I (1783) p.329-330, présenté à l'Académie de St Petersburg le 15 novembre 1773, selon le Darthmouth College (Enestrom number 560).
  8. Carl Friedrich Gauss, Disquisitiones arithmeticae, 1801. Traduction M. Poullet-Delisle, éd. Courcier, 1807 : Recherches arithmétiques, p. 55-57.
  9. Une démonstration « manuelle » posée sous forme d'exercice avec la correction par le site maths-express.com

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Article connexe[modifier | modifier le code]

Nombre de Wilson

Bibliographie[modifier | modifier le code]

Pierre Samuel, Théorie algébrique des nombres [détail de l’édition]

Liens externes[modifier | modifier le code]