Théorème de Weierstrass-Casorati

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En mathématiques, et plus particulièrement en analyse complexe, le théorème de Weierstrass-Casorati décrit une propriété topologique des voisinages d'une singularité essentielle d'une fonction holomorphe. Il est nommé ainsi en l'honneur des mathématiciens Karl Weierstrass et Felice Casorati.

Énoncé[modifier | modifier le code]

Théorème de Weierstrass-Casorati — Soit f une fonction holomorphe sur un disque D(a,r) épointé (c'est-à-dire privé de son centre) avec une singularité essentielle en a (voir plus bas la définition d'une singularité essentielle).

Alors, pour tout k inclus dans ]0,r[, l'ensemble f(D(a,k)\backslash\{a\}) est dense dans ℂ.

Ainsi pour tout k inclus dans ]0,r[ et pour tout c appartenant à ℂ, il existe une suite (z_j) de D(a,k)\backslash\{a\} telle que f(z_j) tend vers c.

Remarque : on dit qu'une fonction analytique complexe admet un point singulier essentiel en a lorsque le développement en série de Laurent admet une infinité de termes de la forme a_{-n}/(s-a)^n. Si le développement n'a qu'un nombre fini de termes de cette forme, le point  a est un pôle de degré égal à la plus grande puissance de 1/(s-a) (cas le plus fréquent). Il existe un autre type de singularité à ne pas confondre avec la singularité essentielle, le point de branchement: il existe alors dans le développement autour de a soit un terme logarithmique soit des puissances non entières.

Le grand théorème de Picard a complété le théorème de Weierstrass-Casorati en précisant qu'une telle application prend une infinité de fois toutes les valeurs de ℂ sauf peut être une. La démonstration du théorème de Picard est bien plus difficile que celle du théorème de Weierstrass-Casorati.

Exemples[modifier | modifier le code]

Tracé du module de la fonction z \mapsto \exp\left(z^{-2}\right). La fonction possède une singularité essentielle en 0. On peut observer que même en étant très près de 0 le module peut prendre toutes les valeurs positives excepté 0
  • La fonction g:z\mapsto 1/z définie sur ℂ* possède une singularité qui n'est pas essentielle en 0 (c'est en fait un pôle d'ordre 1). On peut remarquer que \left|g(z)\right|\to\infty quand z\to 0 et la fonction g ne vérifie donc pas le théorème de Weierstrass-Casorati.
  • La fonction définie pour tout z \in \mathbb{C}^* par :
    f(z)=\exp\left(\frac{1}{z^2}\right)=1+\frac{1}{z^2}+\frac{1}{2z^4}+\frac{1}{6z^6}+\frac{1}{24z^8}+...
    possède une singularité essentielle en 0.
    En posant z=x+iy on a \left|f(z)\right|=\exp\left(\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}\right) les courbes de niveaux de \left|f(z)\right| vérifient donc des équations du type x^2-y^2=c\left(x^2+y^2\right)^2c est une constante, les courbes de niveaux de \left|f(z)\right| sont donc des lemniscates de Bernoulli.

Une application[modifier | modifier le code]

L'utilisation du théorème de Weierstrass-Casorati est l'une des méthodes qui permettent de montrer que les seuls automorphismes biholomorphes de ℂ sont des applications f du type f(z)=az+b avec a\neq 0.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

Lien externe[modifier | modifier le code]

[PDF] Analyse Complexe – Séries de Fourier, cours de Ernst Hairer (en) et Gerhard Wanner, de l'université de Genève