Théorème de Skolem-Noether

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En théorie des anneaux, une branche des mathématiques, le théorème de Skolem–Noether caractérise les automorphismes des anneaux simples. C'est un résultat fondamental de la théorie des algèbres centrales simples.

Le théorème a été d'abord publié par Thoralf Skolem en 1927 dans son article Zur Theorie der assoziativen Zahlensysteme (allemand : Sur la théorie des systèmes de nombres associatifs) et redécouvert indépendamment par Emmy Noether.

Énoncé[modifier | modifier le code]

Dans sa formulation générale, soient A et B des anneaux simples et soit k le centre de B. Remarquons que k est un corps puisque, pour x élément non nul de k, la simplicité de B entraîne que l'idéal bilatère Bx, qui n'est pas réduit à {0}, est B tout entier, si bien que x est une unité. Supposons de plus que la dimension de B sur k est finie, c'est-à-dire que B est une algèbre centrale simple. Alors, étant donné deux morphismes de k-algèbres

f, g : AB,

il existe une unité b dans B telle que pour tout a dans A[1],[2]


g(a) = b · f(a) · b−1.

En particulier, tout automorphisme d'une k-algèbre centrale simple est intérieur[3],[4].

Preuve[modifier | modifier le code]

Supposons d'abord que B = \operatorname{M}_n(k) = \operatorname{End}_k(k^n). Alors, f et g définissent des actions de A sur k^n ; soit V_f, V_g les A-modules ainsi obtenus. Puisqu'ils ont la même dimension, il existe un isomorphisme d'espaces vectoriels b: V_g \to V_f. Mais un tel b est nécessairement un élément de \operatorname{M}_n(k) = B. Pour le cas général, remarquons que B \otimes B^{\text{op}} est une algèbre de matrices et donc, par la première partie de la preuve, cette algèbre contient un élément b tel que

(f \otimes 1)(a \otimes z) = b (g \otimes 1)(a \otimes z) b^{-1}

pour tous a \in A et z \in B^{\text{op}}. En prenant a = 1, on trouve

1 \otimes z = b (1\otimes z) b^{-1}

pour tout z. En d'autres termes, b appartient à Z_{B \otimes B^{\text{op}}}(k \otimes B^{\text{op}}) = B \otimes k et l'on peut donc écrire b = b' \otimes 1. En prenant cette fois z = 1, on trouve

f(a)= b' g(a) {b'^{-1}},

comme on le souhaitait.

Notes[modifier | modifier le code]

  1. Lorenz 2008, p. 173
  2. (en) Benson Farb et R. Keith Dennis, Noncommutative Algebra, New York, Springer-Verlag,‎ 1993 (ISBN 9780387940571)
  3. Gille et Szamuely 2006, p. 40
  4. Lorenz 2008, p. 174

Références[modifier | modifier le code]

  • (en) Thoralf Skolem, « Zur Theorie der assoziativen Zahlensysteme », Skrifter Oslo, no 12,‎ 1927, p. 50
  • Présentation du théorème dans (en) James Milne (en), Class Field Theory (lire en ligne)
  • (en) Philippe Gille et Tamás Szamuely, Central simple algebras and Galois cohomology, Cambridge, CUP, coll. « Cambridge Studies in Advanced Mathematics » (no 101),‎ 2006 (ISBN 0-521-86103-9, zbMATH 1137.12001)
  • (en) Falko Lorenz, Algebra., vol. 2 : Fields with Structure, Algebras and Advanced Topics, Springer,‎ 2008 (ISBN 978-0-387-72487-4, zbMATH 1130.12001)