Théorème de Rellich

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Le théorème de Rellich est un théorème d'analyse, la branche des mathématiques qui est constituée du calcul différentiel et intégral et des domaines associés.

Énoncé[modifier | modifier le code]

Si \Omega est un ouvert borné de classe de régularité C^1, alors de toute suite bornée de H^1(\Omega) on peut extraire une sous-suite convergente dans \mathrm L^2(\Omega) (on dit que l'injection canonique de H^1(\Omega) dans \mathrm L^2(\Omega) est compacte).

Remarques[modifier | modifier le code]

On se place dans ℝn.

H^1(\Omega) désigne un espace de Sobolev.

\mathrm L^2(\Omega) désigne un espace Lp avec p = 2.

L'inclusion de H1(ℝn) dans L2(ℝn) n'est pas, elle, compacte.

Le caractère C^1 de \Omega a un sens particulier : il s'agit de la régularité du bord.

Démonstration[modifier | modifier le code]

La preuve se base sur le théorème de Fréchet-Kolmogorov qui caractérise les sous-ensembles relativement compacts de Lp(ℝn).

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]