Théorème de Śleszyński-Pringsheim

En mathématiques, et plus précisément en analyse, le théorème de Śleszyński-Pringsheim donne des conditions de convergence de certaines fractions continues généralisées. Il fut découvert par Ivan Śleszyński puis par Alfred Pringsheim à la fin du dix-neuvième siècle.

Énoncé

Soient a_n et b_n, pour n = 1, 2, 3…, des nombres complexes tels que |b_n| ≥ |a_n| + 1 pour tout n, et soient ƒ_n les réduites de la fraction continue généralisée

${\frac {a_{1}\mid }{\mid b_{1}}}+{\frac {a_{2}\mid }{\mid b_{2}}}+{\frac {a_{3}\mid }{\mid b_{3}}}+\cdots .$

1. La fraction converge absolument, c'est-à-dire que la série numérique suivante est absolument convergente :$f=\sum _{n}(f_{n}-f_{n-1}).$
2. Les modules des réduites ƒ_n sont strictement inférieurs à 1.
3. Le cas limite |ƒ| = 1 a lieu si et seulement si les trois conditions suivantes sont réunies :
   • |b_n| = |a_n| + 1 pour tout n ;
   • tous les a_n+1/(b_nb_n+1) sont des réels négatifs ;
   • la série $\sum _{n}|a_{1}a_{2}\ldots a_{n}|$ est divergente.
     Dans ce cas, la valeur de la fraction est $f={\frac {a_{1}|b_{1}|}{|a_{1}|b_{1}}}.$

Corollaires

On peut déduire d'autres critères de convergence de celui de Śleszyński-Pringsheim, parmi lesquels :

Théorème de Worpitzky

Pour tous complexes a₁, a₂, a₃… de modules inférieurs ou égaux à 1/4, la fraction continue généralisée

${\frac {a_{1}\mid }{\mid 1}}+{\frac {a_{2}\mid }{\mid 1}}+{\frac {a_{3}\mid }{\mid 1}}+\cdots$

converge, et ses réduites sont de modules strictement inférieurs à 1/2.

Ce théorème, publié en 1865 par Julius Worpitzky, passe pour avoir été le premier critère de convergence concernant des fractions continues à coefficients complexes.

C'est un cas particulier du théorème de Śleszyński-Pringsheim, d'après l'équivalence de fractions : ${\frac {2a_{1}\mid }{\mid 1}}+{\frac {a_{2}\mid }{\mid 1}}+{\frac {a_{3}\mid }{\mid 1}}+\cdots ={\frac {4a_{1}\mid }{\mid 2}}+{\frac {4a_{2}\mid }{\mid 2}}+{\frac {4a_{3}\mid }{\mid 2}}+\cdots .$

Autre critère de Pringsheim

Pringsheim a formulé le corollaire suivant de « son » théorème :

Pour tous complexes b₁, b₂, b₃… vérifiant, pour tout entier i > 0

${\frac {1}{|b_{2i-1}|}}+{\frac {1}{|b_{2i}|}}\leq 1,$

la fraction continue régulière suivante converge :

${\frac {1\mid }{\mid b_{1}}}+{\frac {1\mid }{\mid b_{2}}}+{\frac {1\mid }{\mid b_{3}}}+\cdots .$

Ce critère est un cas particulier du théorème de Śleszyński-Pringsheim, d'après l'équivalence de fractions : ${\frac {1\mid }{\mid b_{1}}}+{\frac {1\mid }{\mid b_{2}}}+\cdots ={\frac {b_{2}/b_{1}\mid }{\mid b_{2}}}+{\frac {b_{2}/b_{1}\mid }{\mid b_{2}}}+{\frac {b_{4}/b_{3}\mid }{\mid b_{4}}}+{\frac {b_{4}/b_{3}\mid }{\mid b_{4}}}+\cdots .$

Il s'applique par exemple si tous les b_n sont de module au moins 2 (cf. § Exemples ci-dessous).

Théorème de convergence de Tietze

Le théorème de Śleszyński-Pringsheim est complété par certains critères classiques de convergence ou de divergence, parmi lesquels ce théorème de Tietze :

Soient a_n et b_n, pour n = 1, 2, 3…, des réels tels que pour tout indice n, b_n ≥ |a_n| > 0 et même, chaque fois que a_n+1 < 0, b_n ≥ |a_n| + 1.

• Pour que la fraction associée${\frac {a_{1}\mid }{\mid b_{1}}}+{\frac {a_{2}\mid }{\mid b_{2}}}+{\frac {a_{3}\mid }{\mid b_{3}}}+\cdots .$converge, il suffit que les a_n soient négatifs à partir d'un certain rang ou que l'une des trois séries suivantes diverge :$\sum _{a_{n}>0}{\sqrt {a_{n}}},\quad \sum _{a_{n+1}>0}{\sqrt {b_{n}-|a_{n}|}},\quad \sum _{a_{n+1}<0}{\sqrt {b_{n}-|a_{n}|-1}}.$
• Si la fraction converge, la limite ƒ des réduites vérifie : 0 < a₁ƒ ≤ |a₁|, et ne peut être égale à ±1 que si a_n < 0 pour tout n > 1 et b_n = |a_n| + 1 pour tout n > 0.
• Si les a_n et b_n sont entiers alors, sauf dans un cas exceptionnel, la fraction converge et la limite ƒ est irrationnelle. Le cas exceptionnel est celui où, à partir d'un certain rang, a_n < 0 et b_n = |a_n| + 1.

Exemples

Fractions régulières de période 1

Pour un complexe z (non nul), une étude directe (cf. article détaillé) montre que la fraction

${\frac {1\mid }{\mid z}}+{\frac {1\mid }{\mid z}}+{\frac {1\mid }{\mid z}}+\cdots$

converge si et seulement si z n'appartient pas à l'intervalle imaginaire pur ]−2i, 2i[.

La convergence était prévisible pour z de module supérieur ou égal à 2 par le théorème ou le corollaire de Pringsheim (et pour z réel positif, par le théorème de Seidel-Stern).

Fractions « négativement régulières »

Définition

Pringsheim s'intéresse aux fractions qu'il qualifie de « négativement régulières ». Ce sont les fractions de la forme

$b_{0}-{\frac {1\mid }{\mid b_{1}}}-{\frac {1\mid }{\mid b_{2}}}-\cdots ,$

où les b_n sont entiers et, pour n > 0, b_n ≥ 2.

Il s'agit donc de la variante des fractions continues simples obtenue en remplaçant les signes « + » par des signes « – » et en interdisant la valeur 1 pour les b_n (sauf pour b₀).

Théorème de représentation

Les fractions « négativement régulières » convergent d'après le théorème de Śleszyński-Pringsheim, de même que les fractions simples convergent d'après le théorème de Seidel-Stern. De plus — de même que les fractions simples infinies sont en bijection avec les irrationnels — les fractions « négativement régulières » infinies sont en bijection avec tous les réels, par le théorème suivant :

Tout réel est la limite d'une unique fraction « négativement régulière » infinie.

Caractérisation des rationnels

Alors qu'avec les fractions simples, un rationnel se reconnaît à ce que son développement est fini, avec les fractions « négativement régulières », il se reconnaît au fait qu'à partir d'un certain rang, tous les b_n sont égaux à 2.

Algorithme

L'analogue de l'algorithme de développement en fraction simple, pour déterminer les dénominateurs partiels b_n du développement en fraction négativement régulière d'un réel x, est le suivant. Pour tout réel t, notons ⌊t⌋ la partie entière de t et G(t) l'entier ⌊t⌋ + 1. On a donc 1/(G(t) – t) ≥ 1.

On définit alors par récurrence deux suites (x_n) et (b_n) par : $x_{0}=x{\text{ et }}\forall n\in \mathbb {N} \quad b_{n}=G(x_{n}){\text{ et }}x_{n+1}={\frac {1}{b_{n}-x_{n}}}.$

Exemples de développements

Par exemple :

• Développements de période 1 :$\forall n\in \{2,3,\ldots \}\quad -{\frac {1\mid }{\mid n}}-{\frac {1\mid }{\mid n}}-\cdots ={\frac {-n+{\sqrt {n^{2}-4}}}{2}},$en particulier :
  • pour n = 2 : le développement de –1 est un cas limite du théorème de Śleszyński-Pringsheim ;
  • pour n = 2m :$\forall m\in \{1,2,3,\ldots \}\quad {\sqrt {m^{2}-1}}=m-{\frac {1\mid }{\mid 2m}}-{\frac {1\mid }{\mid 2m}}-\cdots .$
• Développements de période 2 :$\forall m,n\in \{2,3,\ldots \}\quad -{\frac {1\mid }{\mid m}}-{\frac {1\mid }{\mid n}}-{\frac {1\mid }{\mid m}}-{\frac {1\mid }{\mid n}}-\cdots ={\frac {1}{2}}\left(-n+{\sqrt {\frac {n(mn-4)}{m}}}\right),$en particulier (pour n = 2m)$\forall m\in \{2,3,\ldots \}\quad {\sqrt {m^{2}-2}}=m-{\frac {1\mid }{\mid m}}-{\frac {1\mid }{\mid 2m}}-{\frac {1\mid }{\mid m}}-{\frac {1\mid }{\mid 2m}}-\cdots .$

Notes et références

(en)/(de) Cet article est partiellement ou en totalité issu des articles intitulés en anglais « Śleszyński–Pringsheim theorem » (voir la liste des auteurs) et en allemand « Konvergenzkriterium von Pringsheim » (voir la liste des auteurs).

Lien externe

(en) « Continued fractions », sur Encyclopædia Britannica 1911