Théorème de Poincaré-Birkhoff-Witt

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Aller à : navigation, rechercher

En mathématiques, et plus particulièrement en algèbre générale, dans la théorie des algèbres de Lie, le théorème de Poincaré-Birkhoff-Witt est un théorème fondamental qui permet de décrire précisément la structure de l'algèbre enveloppante d'une algèbre de Lie.

Ce théorème est le résultat des travaux de Henri Poincaré en 1900, Garrett Birkhoff en 1937 et Ernst Witt en 1937. Il est parfois appelé en abrégé « théorème PBW ».

Énoncé[modifier | modifier le code]

Soit \mathfrak{g} une algèbre de Lie, \mathcal{B} une base de \mathfrak{g}. On suppose que \mathcal{B} est totalement ordonnée. On appelle monôme canonique toute suite finie (x_1,\dots,x_n) d'éléments de \mathcal{B} croissante au sens large (c'est-à-dire que pour tout 1\leq i \leq n-1, x_i \leq x_{i+1}).

La définition de l'algèbre enveloppante U(\mathfrak{g}) de \mathfrak{g} assure l'existence d'une application linéaire

L:\mathfrak{g} \longrightarrow U(\mathfrak{g}).

On étend L aux monômes canoniques en posant

L(x_1,\dots,x_n)=L(x_1)L(x_2)\dots L(x_n)

ce qui a un sens puisque U(\mathfrak{g}) est une algèbre associative sur un corps.

Le théorème proprement dit est le suivant :

L'application L définit une injection de \mathfrak{g} dans U(\mathfrak{g}), et l'ensemble des images par L des monômes canoniques est une base de U(\mathfrak{g}).

Autrement dit, soit  Y=L(\mathcal{B}). Alors l'ensemble

\{ y_1^{k_1}\dots y_l^{k_l}, y_i \in Y, y_i \leq y_{i+1} \}

est une base de U(\mathfrak{g}).

Conséquence[modifier | modifier le code]

L'application L est injective. Ainsi, en munissant U(\mathfrak{g}) de sa structure naturelle d'algèbre de Lie (en posant [x,y]=xy-yx), \mathfrak{g} peut être vue comme une sous-algèbre de Lie de U(\mathfrak{g}).

Bibliographie[modifier | modifier le code]

  • (en) Garrett Birkhoff, « Representability of Lie Algebras and Lie Groups by Matrices », Annals of Mathematics, vol. 38, no 2,‎ avril 1937, p. 526–532 (lire en ligne)
  • (en) Nicolas Bourbaki, Groupes et algèbres de Lie, Paris, Hermann,‎ 1960, « Chapitre 1: Algèbres de Lie »
  • (en) Henri Cartan et Samuel Eilenberg, Homological Algebra, vol. 19, Princeton University Press,‎ 1956 (ISBN 978-0-691-04991-5)
  • (en) P. M. Cohn, « A Remark on the Birkhoff-Witt Theorem », J. London Math. Soc., vol. 38,‎ 1963, p. 197-203
  • (en) « Théorème de Poincaré-Birkhoff-Witt », dans Michiel Hazewinkel, Encyclopædia of Mathematics, Springer,‎ 2002 (ISBN 978-1556080104, lire en ligne)
  • Pierre-Paul Grivel, « Une histoire du théorème de Poincaré-Birkhoff-Witt », Expositiones Mathematicae, vol. 22,‎ 2004, p. 145-184
  • (en) P.J. Higgins, « Baer Invariants and the Birkhoff-Witt Theorem », Journal of Algebra, vol. 11,‎ 1969, p. 469-482 (lire en ligne)
  • (en) G. Hochschild, The Theory of Lie Groups, Holden-Day,‎ 1965
  • (en) A. W. Knapp, Representation Theory of Semisimple Groups. An Overview Based on Examples, Princeton University Press,‎ 1986
  • (en) A. W. Knapp, Lie Groups Beyond an Introduction, Birkhäuser,‎ 1996
  • Henri Poincaré, « Sur les groupes continus », Trans. Cambr. Philos. Soc., vol. 18,‎ 1900, p. 220–225
  • (en) T. Ton-That et T.-D. Tran, « Poincaré's Proof of the So-Called Birkhoff-Witt Theorem », Rev. Histoire Math., vol. 5,‎ 1999, p. 249–284 (lire en ligne)
  • (de) Ernst Witt, « Treue Darstellung Liescher Ringe », J. Reine Angew. Math., vol. 177,‎ 1937, p. 152–160 (lire en ligne)