Théorème de Morera

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Aller à : navigation, rechercher

En mathématiques, plus précisément en analyse complexe, le théorème de Morera (du nom du mathématicien italien Giacinto Morera) est « une réciproque utile du théorème intégral de Cauchy[1],[2] » ou plus précisément de son ingrédient principal, le lemme de Goursat.

Il stipule qu'une fonction continue sur un ouvert est holomorphe dès que son intégrale le long de tout triangle[3] inclus dans cet ouvert est nulle.

Si U est un ouvert du plan complexe, f une fonction à valeurs complexes continue sur U et si, pour tout triangle convexe fermé T inclus dans U, on a

\int_{\partial T} f(z)~\mathrm dz=0

alors

f \in H(U)[1],[2].

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. a et b Walter Rudin, Analyse réelle et complexe [détail des éditions], p. 202
  2. a et b (en) Srishti D. Chatterji, Cours d'analyse : vol. 2, Analyse complexe, PPUR,‎ 1997 (ISBN 978-2-88074346-8, lire en ligne), p. 154
  3. Dany-Jack Mercier, Lectures sur les mathématiques, l'enseignement et les concours, vol. 2, Publibook,‎ 2010 (ISBN 978-2-74835532-1, lire en ligne), p. 95 énonce, sous ce titre, une variante avec des rectangles.