Théorème de Millman

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Le théorème de Millman est une forme particulière de la loi des nœuds exprimée en termes de potentiel. Il est ainsi nommé en l'honneur de l'électronicien américain Jacob Millman.

Énoncé[modifier | modifier le code]

Illustration du théorème de Millman

Dans un réseau électrique de branches en parallèle, comprenant chacune un générateur de tension parfait en série avec un élément linéaire, la tension aux bornes des branches est égale à la somme des forces électromotrices respectivement multipliées par l'admittance de la branche, le tout divisé par la somme des admittances.

On appelle Y_k l'admittance correspondant à l'inverse de l'impédance Z_k (Y_k = \frac{1}{Z_k}).

V_M=\frac{\displaystyle\sum_{k=1}^N E_k.Y_k}{\displaystyle\sum_{k=1}^N Y_k}=\frac{\displaystyle\sum_{k=1}^N \frac{E_k}{Z_k}}{\displaystyle\sum_{k=1}^N \frac{1}{Z_k}}

Dans le cas particulier d'un réseau électrique composé de résistances :

V_M=\frac{\displaystyle\sum_{k=1}^N E_k.G_k}{\displaystyle\sum_{k=1}^N G_k}=\frac{\displaystyle\sum_{k=1}^N \frac{E_k}{R_k}}{\displaystyle\sum_{k=1}^N \frac{1}{R_k}}

On peut aussi le généraliser avec des générateurs de courants. S'il y a, toujours en parallèle, des courants  Ig_k (par exemple les courants provenant des générateurs de courant) connus injectés vers le même point M, alors on peut écrire :

V_M=\frac{\displaystyle\sum_{k=1}^N E_k.G_k+\sum_{k=1}^P Ig_k}{\displaystyle\sum_{k=1}^N G_k}=\frac{\displaystyle\sum_{k=1}^N \frac{E_k}{R_k}+\sum_{k=1}^P Ig_k}{\displaystyle\sum_{k=1}^N \frac{1}{R_k}}


Avec G, la conductance. On remarque que la présence de générateurs de courants ne modifie pas le dénominateur.

Une autre démonstration peut en être faite rapidement en utilisant le théorème de Norton : Chaque branche peut-être transformée en son générateur de Norton équivalent. La somme des intensités des courants débités par les générateurs de courant traverse alors une conductance égale à la somme des conductances de chaque branche. L’application de la loi d'ohm donne alors la tension à vide aux bornes du dipôle soit la relation donnée par le théorème de Millman.

Exemple[modifier | modifier le code]

Exemple d'application du théorème de Millman
  • Sur la figure ci-contre, la tension V_{ab} (ou V_M ), a été calculée en suivant la formule du théorème de Millman:
V_{ab}=\frac{\dfrac{V_1}{R_1}+\dfrac{V_2}{R_2}+\dfrac{V_3}{R_3}}{\dfrac{1}{R_1}+\dfrac{1}{R_2}+\dfrac{1}{R_3}} =\frac{\dfrac{10}{5}+\dfrac{0}{8}+\dfrac{-12}{3}}{\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{3}} = -3V
  • Le signe négatif signifie que le point a est négatif par rapport à la masse commune.

Autre exemple: Il n'est pas nécessaire que les sources de tension soient parfaites, celles-ci peuvent inclure des résistances même de forte valeur.

générateurs réels
V =\frac{\dfrac{E_1}{R_1+R_2}+\dfrac{E_2}{R_3+R_4}}{\dfrac{1}{R_1+R_2}+\dfrac{1}{R_3+R_4}}


V =\frac{\dfrac{V_1}{R_1}+\dfrac{V_2}{R_3}}{\dfrac{1}{R_1}+\dfrac{1}{R_3}}

Applications[modifier | modifier le code]

Ce théorème s'utilise avantageusement si V_M est nulle (par exemple, la tension différentielle d'un AOP en régime linéaire), le dénominateur n'a pas besoin alors d'être formulé.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]