Théorème de Millman

Le théorème de Millman est une forme particulière de la loi des nœuds exprimée en termes de potentiel. Il est ainsi nommé en l'honneur de l'électronicien américain Jacob Millman.

Énoncé

Illustration du théorème de Millman

Dans un réseau électrique de branches en parallèle, comprenant chacune un générateur de tension parfait en série avec un élément linéaire, la tension aux bornes des branches est égale à la somme des forces électromotrices respectivement multipliées par l'admittance de la branche, le tout divisé par la somme des admittances.

$V_m=\frac{\displaystyle\sum_{k=1}^N E_k.Y_k}{\displaystyle\sum_{k=1}^N Y_k}=\frac{\displaystyle\sum_{k=1}^N \frac{E_k}{Z_k}}{\displaystyle\sum_{k=1}^N \frac{1}{Z_k}}$

Dans le cas particulier d'un réseau électrique composé de résistances :

$V_m=\frac{\displaystyle\sum_{k=1}^N E_k.G_k}{\displaystyle\sum_{k=1}^N G_k}=\frac{\displaystyle\sum_{k=1}^N \frac{E_k}{R_k}}{\displaystyle\sum_{k=1}^N \frac{1}{R_k}}$

On peut aussi le généraliser avec des générateurs de courants. S'il y a, toujours en parallèle, des courants I_k connus injectés vers le même point M, alors on peut écrire :

$V_m=\frac{\displaystyle\sum_{k=1}^N E_k.G_k+\sum_{k=1}^P I_k}{\displaystyle\sum_{k=1}^N G_k}=\frac{\displaystyle\sum_{k=1}^N \frac{E_k}{R_k}+\sum_{k=1}^P I_k}{\displaystyle\sum_{k=1}^N \frac{1}{R_k}}$

Avec G, la conductance. On remarque que la présence de générateurs de courants ne modifie pas le dénominateur.

Démonstration

On considère le schéma ci-dessus.

Comme les branches (Zk ; Ek) sont en parallèle, on travaille avec les admittances $Y_{k}=\frac{1}{Z_{k}}$. Pour chaque branche (source de tension et impédance), on obtient, d'après la loi d'ohm : $I_{k}=Y_{k} \times (E_{k}-V_{m})$ (chaque courant est ainsi orienté vers le haut ; vers le point M)

Ensuite, d'après la loi des nœuds, on a : $\sum_{k=1}^N I_{k}=0$

Si on généralise avec des générateurs Ig de courants, on débute le même calcul ainsi : $\sum_{k=1}^N I_{k}+\sum_{k=1}^P Ig_{k}=0$

soit :

$\sum_{k=1}^N Y_{k} \times (E_{k}-V_{m})+\sum_{k=1}^P Ig_{k}=0$

en développant :

$\sum_{k=1}^N Y_{k} \times V_{m} = \sum_{k=1}^N Y_{k} \times E_{k}+\sum_{k=1}^P Ig_{k}$

d'où :

$V_{m} = \frac{\displaystyle \sum_{k=1}^N E_{k} . Y_{k} + \sum_{k=1}^P Ig_{k}}{\displaystyle\sum_{k=1}^N Y_{k}}=\frac{\displaystyle\sum_{k=1}^N \frac{E_k}{Z_k} + \sum_{k=1}^P Ig_{k}}{\displaystyle\sum_{k=1}^N \frac{1}{Z_k}}$

 

Exemple

Exemple d'application du théorème de Millman

• Sur la figure ci-contre, la tension V_ab (ou V_m ), a été calculée en suivant la formule du théorème de Millman:

$V_{ab}=\frac{\dfrac{V_1}{R_1}+\dfrac{V_2}{R_2}+\dfrac{V_3}{R_3}}{\dfrac{1}{R_1}+\dfrac{1}{R_2}+\dfrac{1}{R_3}}$ $=\frac{\dfrac{10}{5}+\dfrac{0}{8}+\dfrac{-12}{3}}{\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{3}} = -3V$

• Le signe négatif signifie que le point a est négatif par rapport à la masse commune.

Autre exemple: Il n'est pas nécessaire que les sources de tension soient parfaites, celles-ci peuvent inclure des résistances même de forte valeur.

générateurs réels

$V =\frac{\dfrac{E_1}{R_1+R_2}+\dfrac{E_2}{R_3+R_4}}{\dfrac{1}{R_1+R_2}+\dfrac{1}{R_3+R_4}}$

$V =\frac{\dfrac{V_1}{R_1}+\dfrac{V_2}{R_3}}{\dfrac{1}{R_1}+\dfrac{1}{R_3}}$

Applications

Ce théorème s'utilise avantageusement si V_m est nulle (par exemple, la tension différentielle d'un AOP en régime linéaire), le dénominateur n'a pas besoin alors d'être formulé.

Voir aussi

• (en) Millman's Theorem (All about circuits)

Articles connexes

• Électricité ;
• Loi d'Ohm ;
• Lois de Kirchhoff ;
• Principe de superposition ;
• Théorème de Thévenin ;
• Théorème de Norton ;
• Théorème de réciprocité;
• Théorème de Kennelly.