Théorème de Lusin

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En mathématiques, le théorème de Lusin ou Luzin est pour l'analyse réelle, un autre forme du second principe de Littlewood, « toute fonction est presque continue ». Il a été énoncé en 1903 par Lebesgue, établi en 1905 par Vitali[1],[2] et redécouvert en 1912 par Nikolai Lusin[3].

Il énonce que toute fonction mesurable possède une restriction à une grande partie de son domaine de définition qui est continue.

Énoncé[modifier | modifier le code]

Pour un intervalle [a, b], soit f : [a, b] → ℂ une fonction mesurable. Alors pour tout ε > 0, il existe un compact E ⊂ [a, b] tel que la restriction à E de f est continue (pour la topologie induite sur E) et la mesure de Lebesgue du complémentaire de E est inférieure à ε.

Exemple[modifier | modifier le code]

Sur le segment [0, 1], la fonction indicatrice des rationnels est mesurable mais discontinue en tout point. Cependant, pour tout ε > 0, en choisissant une énumération (rn) des rationnels de ce segment et en prenant le complémentaire (dans [0, 1]) de la réunion des intervalles ]rn – 2–2–nε, rn + 2–2–nε[, on obtient un compact E dont le complémentaire est de mesure inférieure à ε et la restriction de la fonction à E est constamment nulle donc continue.

Démonstration[modifier | modifier le code]

Puisque les fonctions continues sont denses dans L1([a, b]), il existe une suite (gn) de fonctions continues telle que gnf dans L1. De cette suite, on peut extraire une sous-suite (gnk) telle que gnkf presque partout. En utilisant le théorème d'Egoroff, on a gnkf uniformément sauf sur un ensemble de mesure aussi faible que voulue. Comme l'ensemble des fonctions continues est fermé par convergence uniforme, cela termine la démonstration.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. (en) William C. Bauldry, Introduction to Real Analysis: An Educational Approach, Wiley,‎ 2011 (ISBN 978-1-11816443-3, lire en ligne), p. 165
  2. Nicolas Bourbaki, Éléments d'histoire des mathématiques, p. 223 de la 2e éd. en anglais, Springer, 1994
  3. N. N. Lusin, « Sur les propriétés des fonctions mesurables », C. R. Acad. Sci. Paris, vol. 154,‎ 1912, p. 1688-1690