Théorème de Lusin

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En mathématiques, le théorème de Lusin ou Luzin (d'après Nikolai Luzin) est pour l'analyse réelle, un autre forme du second principe de Littlewood.

Il énonce que toute fonction mesurable est continue sur une grande partie de son domaine de définition.

Pour un intervalle $[a,b]$, soit $f:[a,b]\rightarrow \mathbb{C}$ une fonction mesurable. Alors $\forall \epsilon > 0$, il existe un compact $E \subset [a,b]$ tel que la restriction à E de f est continue et $\mu ( E^c ) < \epsilon$, où $E^c$ représente le complémentaire of E. Noter que E hérite de la topologie de $[a,b]$, et dans le cadre de cette topologie, on peut définir la continuité de f restreinte à E.

Voici une preuve simple. On rappelle que les fonctions continues sont denses dans $L^1([a,b])$. Alors, il existe une suite de fonctions continues $\{ g_n\}$ telle que $\{ g_n\} \rightarrow f$ dans $L^1$. De cette suite, on peut extraire une sous-suite $\{ g_{n_k}\}$ telle que $g_{n_k} \rightarrow f$ presque partout. En utilisant le théorème d'Egoroff, on a $g_{n_k} \rightarrow f$ en convergence uniforme sauf sur un ensemble de mesure aussi faible que voulue. Comme l'ensemble des fonctions continues est fermée par convergence uniforme, cela termine la démonstration.

Bibliographie

• Walter Rudin, Analyse réelle et complexe [détail des éditions]