Théorème de Liouville (Hamiltonien)

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En physique, le théorème de Liouville, nommé d'après le mathématicien Joseph Liouville, est un théorème utilisé par le formalisme hamiltonien de la mécanique classique, mais aussi en mécanique quantique et en physique statistique. Ce théorème dit que le volume de l'espace des phases est constant le long des trajectoires du système, autrement dit ce volume reste constant dans le temps.


Équation de Liouville[modifier | modifier le code]

L'équation de Liouville décrit l'évolution temporelle de la densité de probabilité \rho dans l'espace des phases. Cette densité de probabilité est définie comme la probabilité pour que l'état du système soit représenté par un point à l'intérieur du volume \Gamma considéré.

En mécanique classique[modifier | modifier le code]

On utilise les coordonnées généralisées (q,p)[1]N est la dimension du système. La densité de probabilité est définie par la probabilité \rho(p,q)\,d^Nq\,d^Np de rencontrer l'état[2] du système dans le volume infinitésimal d^Nq\,d^Np.

Lorsqu'on calcule l'évolution temporelle cette densité de probabilité \rho(p,q), on obtient :

\frac{d \rho }{dt}=\frac{\partial \rho }{\partial t}+\sum_{i=1}^{N}\left[ \frac{\partial \rho }{\partial q_{i}}\dot{q}_{i}+\frac{\partial \rho }{\partial p_{i}}\dot{p}_{i}\right] = 0

On peut utiliser les équations canoniques de Hamilton en les remplaçant dans l'équation précédente :

\dot{q}_i \ = \ \frac{\partial H}{\partial p_i} \quad  ; \qquad \dot{p}_i \ = \ - \frac{\partial H}{\partial q_i} ,

on obtient le résultat

\frac{\partial}{\partial t}\rho(p,q,t)=-\{\,\rho(p,q,t) ,H\,\}=\{\,H,\rho(p,q,t)\,\},

\{ , \} désigne les crochets de Poisson.

En mécanique quantique[modifier | modifier le code]

D'après le principe de correspondance, on peut rapidement en déduire l'équation de Liouville en mécanique quantique :

\frac{1}{i\hbar} [\hat H,\hat A(t)] =  \left\{ \hat H,\hat A \right\} + O(\hbar^2)

d'où on déduit :

\frac{\partial}{\partial t}\hat \rho=\frac{i}{\hbar}[\hat\rho,\hat H]

Ici, \hat H est l'opérateur hamiltonien et \rho la matrice densité. Parfois cette équation est aussi nommée l'équation de Von Neumann.

Théorème de Liouville[modifier | modifier le code]

De l'équation de Liouville plus haut, on déduit le théorème de Liouville, qui peut s'énoncer comme suit

Théorème de Liouville —  La fonction de distribution est constante le long de n'importe quelle trajectoire de l'espace des phases

ou encore sous la forme

Théorème de Liouville —  Le volume d'une région de l'espace des phases reste constant lorsqu'on suit cette région dans le temps

Cela revient à dire que le volume V de l'espace des phases est invariant par rapport au temps : \frac{dV}{dt} = 0

Notes[modifier | modifier le code]

  1. q={q_1,...,q_N} et p={p_1,...,p_N}.
  2. Un état est défini par l'ensemble des coordonnées généralisées q_i et q_i.
  3. Voir la démonstration précédente de l'équation de Liouville

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]