Théorème de Lie-Kolchin

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Le théorème de Lie-Kolchin est un résultat de trigonalisabilité des sous-groupes connexes et résolubles du groupe des matrices inversibles GLn(K), où K est un corps algébriquement clos de caractéristique quelconque. Démontré en 1948, il tient son nom de son auteur, Ellis Kolchin (en)[1], et de son analogie avec le théorème de Lie sur les algèbres de Lie résolubles (en caractéristique nulle), démontré en 1876 par Sophus Lie.

Énoncé[modifier | modifier le code]

Définition — On dit qu'une partie E de Mn(K) est trigonalisable s'il existe une base de trigonalisation commune à tous les éléments de E.

Théorème de Lie-Kolchin — Pour tout corps K algébriquement clos, tout sous-groupe connexe résoluble de GLn(K) est trigonalisable.

La topologie sur GLn(K) est ici, implicitement, celle de Zariski. (Pour K égal au corps ℂ des nombres complexes, la même démonstration fournit, avec la topologie usuelle sur GLn(ℂ) – i.e. celle induite par la topologie produit sur Mn(ℂ) ≃ ℂ(n2) – un résultat analogue mais moins puissant, puisque cette topologie est plus fine donc possède moins de connexes.) Ce théorème est parfois énoncé avec l'hypothèse supplémentaire (superflue[2] mais inoffensive, puisque l'adhérence du sous-groupe est encore connexe et résoluble[3]) que le sous-groupe considéré est fermé dans GLn(K), c'est-à-dire est en fait un groupe algébrique linéaire. Cette version est un cas particulier du théorème du point fixe de Borel (en)[4].

Démonstration[modifier | modifier le code]

La preuve repose sur les deux lemmes suivants.

Le premier, purement algébrique, généralise à un ensemble de matrices qui commutent le fait que, sur un corps algébriquement clos ou même seulement contenant toutes les valeurs propres d'une matrice donnée, cette matrice est trigonalisable. (Lorsque ce corps est ℂ, on démontre par la même méthode la généralisation analogue du résultat plus précis démontré en 1909 par Schur  : le changement de base peut être choisi unitaire.)

Lemme 1 (Frobenius, 1896)[5] — Soient K un corps algébriquement clos et G une partie de Mn(K) constituée de matrices qui commutent, alors G est trigonalisable.

Le second lemme sera applicable aux sous-groupes connexes G de GLn(K).

Lemme 2 — Le groupe dérivé D(G) de tout groupe topologique connexe G est connexe.

Vient enfin la démonstration du théorème.

Théorème de Kolchin[modifier | modifier le code]

Kolchin a démontré la même année la variante purement algébrique suivante, pour les sous-groupes constitués uniquement de matrices unipotentes (en), c'est-à-dire de la forme In + N, où N est une matrice nilpotente. D'après ce théorème (valable pour un corps non nécessairement algébriquement clos) un tel groupe est automatiquement nilpotent puisque conjugué, dans GLn(K), à un sous-groupe du groupe nilpotent des matrices triangulaires supérieures avec des 1 sur la diagonale principale[6].

Théorème de Kolchin — Pour tout corps commutatif K, tout sous-groupe[6],[7] (et même tout sous-demi-groupe[8],[9]) de GLn(K) constitué de matrices unipotentes[10] est trigonalisable[11].

Ceci peut être vu[12],[13] comme un analogue du théorème de Engel sur les algèbres de Lie.

Pour un corps gauche, il existe des résultats partiels dans cette direction[14].

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. (en) E. R. Kolchin, « Algebraic matric groups and the Picard-Vessiot theory of homogeneous linear ordinary differential equations », Ann. Math, 2e série, vol. 49,‎ 1948, p. 1-42 (JSTOR 1969111)
  2. (en) Tamás Szamuely, Lectures on linear algebraic groups,‎ 2011 (lire en ligne), Remarks 7.2
  3. (en) William C. Waterhouse (en), Introduction to Affine Group Schemes, Springer, coll. « GTM » (no 66),‎ 1979 (ISBN 978-0-387-90421-4, lire en ligne), p. 74
  4. (en) Robert Steinberg, « On theorems of Lie-Kolchin, Borel, and Lang », dans Hyman Bass, Phyllis J. Cassidy et Jerald Kovacic (éds.), Contributions to Algebra : A Collection of Papers Dedicated to Ellis Kolchin, Academic Press,‎ 1977 (lire en ligne), p. 350
  5. (de) G. Frobenius, « Über vertauschbare Matrizen », S'ber. Akad. Wiss. Berlin,‎ 1896, p. 601-614
  6. a et b Jean-Pierre Serre, Groupes finis : cours à l'ENSJF,‎ 1979, arXiv:math.GR/0503154, théorème 3.10
  7. Waterhouse 1979, p. 62
  8. (en) E. R. Kolchin, « On Certain Concepts in the Theory of Algebraic Matric Groups », Ann. Math., 2e série, vol. 49,‎ 1948b, p. 774-789 (lire en ligne)
  9. (en) Katie Gedeon, Simultaneous Triangularization of Certain Sets of Matrices,‎ 2012 (lire en ligne)
  10. ou plus généralement : de matrices sommes d'une matrice scalaire et d'une matrice nilpotente : cf. Gedeon 2012 ou (en) Heydar Radjavi et Peter Rosenthal, Simultaneous Triangularization, Springer,‎ 2000 (ISBN 978-0-387-98466-7, lire en ligne), p. 79.
  11. Gedeon 2012 le déduit du théorème de Jacob Levitzki « Pour tout corps gauche K, tout demi-groupe de Mn(K) constitué de matrices nilpotentes est trigonalisable », démontré dans (en) Irving Kaplansky, Fields and Rings, UCP,‎ 1995, 2e éd. (ISBN 978-0-22642451-4, lire en ligne), p. 135. La preuve classique du théorème de Kolchin (Kolchin 1948b, Serre 1979) utilise seulement le théorème de Burnside-Wedderburn sur les représentations irréductibles de groupes, ou sa généralisation aux demi-groupes, démontrée dans Serge Lang, Algèbre [détail des éditions], XVII, § 3 de l'éd. en anglais de 1978.
  12. Frédéric Paulin, « Sur les automorphismes de groupes libres et de groupes de surface », Séminaire Bourbaki, no 1023,‎ juin 2010, arXiv:1110.0203.pdf, p. 15
  13. (en) Irving Kaplansky, « The Engel-Kolchin theorem revisited », dans H. Bass, P. J. Cassidy et J. Kovacic, Contributions to Algebra : A Collection of Papers Dedicated to Ellis Kolchin, Academic Press,‎ 1977, p. 233-237
  14. (en) Abraham A. Klein, « Solvable groups of unipotent elements in a ring », Canad. Math. Bull., vol. 25,‎ 1982, p. 187-190 (lire en ligne)