Théorème de König-Huygens

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En statistiques et en théorie des probabilités, le théorème de König-Huygens est une identité remarquable reliant la variance et la moyenne.

Énoncé en probabilités

Le théorème de König-Huygens énonce de la façon suivante :

Théorème — Pour toute variable aléatoire réelle $X$, on a :

$\operatorname{Var}(X)\equiv E\bigl[(X-E[X])^2\bigr]=E[X^2]-E[X]^2$.

Démonstration

La démonstration est relativement simple et algébrique. Trois points sont à rappeler :

• Le développement du binôme de Newton ;
• La linéarité de l'espérance en fonction de la variable aléatoire ;
• L'espérance d'une constante vaut cette constante.

Ces trois propriétés rappelées impliquent :

$\begin{align} E\bigl[(X-E[X])^2\bigr]& = E\bigl[X^2 - 2XE[X] + E[X]^2\bigr]\\ & = E[X^2] - E\bigl[2XE[X]\bigr] + E\bigl[E[X]^2\bigr]\\& = E[X^2] - 2E[X]E[X] + E[X]^2\\& = E[X^2] - E[X]^2 \end{align}$

Énoncé en statistiques

Ce théorème peut également s'appliquer pour une décomposition de la formule de la variance empirique:

Théorème — On a : $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \left( x_i - \overline{x}\right)^2 = \left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i^2\right) - \overline{x}^2$

Démonstration

$\begin{align} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \left( x_i - \overline{x}\right)^2 &= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \left( x_i^2 -2x_i\bar x +\overline{x}^2\right)&\\ &= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i^2 -\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n 2x_i\bar x +\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n\bar{x}^2\\ &= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i^2 -\frac{2\bar x}{n} \sum_{i=1}^n x_i +\frac{1}{n} n\bar{x}^2\\ &= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i^2 -2\bar x^2 +\bar{x}^2\\ &= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i^2 -\bar{x}^2\\ \end{align}$

Généralisation

Cette formulation est en fait un cas particulier d'une identité plus générale:

Identité — On a : $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(X_i-a)^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(X_i -\bar X)^2+(\bar X -a)^2$

Démonstration

$\begin{align} \sum_{i=1}^n(X_i-a)^2 &=\sum_{i=1}^n(X_i-\bar X+\bar X -a)^2\\ &=\sum_{i=1}^n\left((X_i-\bar X)+(\bar X -a)\right)^2\\ &=\sum_{i=1}^n\left[(X_i-\bar X)^2+2(X_i-\bar X)(\bar X-a)+(\bar X -a)^2\right]\\ &=\sum (X_i-\bar X)^2 +2(\bar X-a)(\sum X_i-n\bar X)+n(\bar X -a)^2\\ &=\sum (X_i-\bar X)^2 +2(\bar X-a)(\sum X_i-n\frac{1}{n}\sum X_i)+n(\bar X -a)^2\\ &=\sum_{i=1}^n(X_i -\bar X)^2+n(\bar X -a)^2 \end{align}$

N.B. : la démonstration est tirée de Mood et al. (2001, p. 229)

Remarque  :

En passant le deuxième terme de droite à gauche et en prenant a=0 on retrouve la formule de la variance montrée plus haut:

$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(X_i -\bar X)^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(X_i-a)^2-(\bar X -a)^2$

Et donc si $a=0: \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(X_i -\bar X)^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(X_i)^2-(\bar X)^2$

Relation avec la fonction de Leibniz

Ce théorème est un cas particulier de simplification de la fonction scalaire de Leibniz concernant des barycentres.

En effet, la moyenne $m$ est le barycentre du système pondéré $\{(x_i, n_i)\}_{i = 1 ... k}$. La simplification de la fonction scalaire de Leibniz donne pour le système $\{(A_i, a_i)_{i = 1 ... k}\}$ de barycentre $G$ :

$\sum_{i = 1}^k a_i AA_i^2 = \sum_{i = 1}^k a_i GA_i^2 +\left( \sum_{i = 1}^k a_i\right) GA^2$

En remplaçant $G$ par $m$, $A$ par $m'$, $a_i$ par $n_i$ et $A_i$ par $x_i$, on obtient

$\sum_{i = 1}^k n_i (x_i - m')^2 = \sum_{i = 1}^k n_i (x_i - m)^2 + n (m' - m)^2$

Ce qui est, à un facteur $n$ près et à l'ordre près, la formule précédente.

Énoncé en mécanique (Théorème d'Huygens)

Soit un système de $k$ points matériels $A_i$, de masses respectives $m_i$, de masse totale $M$, de centre de masse $G$ et un point $A$ distant de $d$ du point $G$. Le théorème de transport ou théorème de Huygens ou théorème de Steiner donne $J_A$ le moment d'inertie du système par rapport à $A$ en fonction de $J_G$ le moment d'inertie du système par rapport à $G$ :

$J_A=J_G+M\cdot d^2$

avec

$J_A=\sum_{i = 1}^k m_i AA_i^2,\quad J_G=\sum_{i = 1}^k m_i GA_i^2,\quad M=\sum_{i = 1}^k m_i,\quad d^2= GA^2.$

Référence

(en) Alexander M. Mood, Franklin A. Graybill et Duane C. Boes, Introduction to the Theory of Statistics, New Delhi, Tata McGraw-Hill, 2001 (ISBN 978-0-07-042864-5) (LCCN 73000292), p. 564