Théorème de König-Huyghens

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En statistiques et en théorie des probabilités, le théorème de König-Huygens est une identité remarquable reliant la variance et la moyenne.

Sommaire

[modifier] Énoncé en probabilités

Le théorème de König-Huygens énonce de la façon suivante :

Théorème — Pour toute variable aléatoire réelle X, on a :

\operatorname{Var}(X)\equiv E\bigl[(X-E[X])^2\bigr]=E[X^2]-E[X]^2.

La démonstration est relativement simple et algébrique. Trois points sont à rappeler :

  • Le développement du binôme de Newton ;
  • La linéarité de l'espérance en fonction de la variable aléatoire ;
  • L'espérance d'une constante vaut cette constante.

Ces trois propriétés rappelées impliquent :

E\bigl[(X-E[X])^2\bigr]=E[X^2]-2E[X]E[X]+E[X]^2.

[modifier] Énoncé en statistiques

Ce théorème peut également s'appliquer pour une décomposition de la formule de la variance empirique:

Théorème — \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \left( x_i - \overline{x}\right)^2 = \left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i^2\right) - \overline{x}^2


Démonstration

\begin{align} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \left( x_i - \overline{x}\right)^2 &= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \left( x_i^2 -2x_i\bar x +\overline{x}^2\right)&\\ &= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i^2 -\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n 2x_i\bar x +\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n\bar{x}^2\\ &= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i^2 -\frac{2\bar x}{n} \sum_{i=1}^n x_i +\frac{1}{n} n\bar{x}^2\\ &= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i^2 -2\bar x^2 +\bar{x}^2\\ &= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i^2 -\bar{x}^2\\ \end{align}

[modifier] Généralisation

Cette formulation est un fait un cas particulier d'une identité plus générale:

Identité —  \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(X_i-a)^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(X_i -\bar X)^2+(\bar X -a)^2

Démonstration

\begin{align} \sum_{i=1}^n(X_i-a)^2 &=\sum_{i=1}^n(X_i-\bar X+\bar X -a)^2\\ &=\sum_{i=1}^n\left((X_i-\bar X)+(\bar X -a)\right)^2\\ &=\sum_{i=1}^n\left[(X_i-\bar X)^2+2(X_i-\bar X)(\bar X-a)+(\bar X -a)^2\right]\\ &=\sum (X_i-\bar X)^2 +2(\bar X-a)(\sum X_i-\bar X)+n(\bar X -a)^2\\ &=\sum (X_i-\bar X)^2 +2(\bar X-a)(\sum X_i-n\frac{1}{n}X_i)+n(\bar X -a)^2\\ &=\sum_{i=1}^n(X_i -\bar X)^2+n(\bar X -a)^2 \end{align}

NB: la démonstration est tirée de Mood et al. (2001, p. 229)

Remarque  :

En passant le deuxième terme de droite à gauche et en prenant a=0 on retrouve la formule de la variance montrée plus haut:

\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(X_i -\bar X)^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(X_i-a)^2-(\bar X -a)^2

Et donc si a=0: \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(X_i -\bar X)^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(X_i)^2-(\bar X)^2


[modifier] Relation avec la fonction de Leibniz

Ce théorème est un cas particulier de simplification de la fonction scalaire de Leibniz concernant des barycentres.

En effet, la moyenne m est le barycentre du système pondéré {(xi,ni)}i = 1...k. La simplification de la fonction scalaire de Leibniz donne pour le système {(Ai,ai)i = 1...k} de barycentre G :

\sum_{i = 1}^k a_i MA_i^2 = \sum_{i = 1}^k a_i GA_i^2 +\left( \sum_{i = 1}^k a_i\right) GM^2

En remplaçant G par m, M par m', ai par ni et Ai par xi, on obtient

\sum_{i = 1}^k n_i (x_i - m')^2 = \sum_{i = 1}^k n_i (x_i - m)^2 + n (m' - m)^2

Ce qui est, à un facteur n près et à l'ordre près, la formule précédente.

[modifier] Références

  • (en) Alexander MacFarlane Mood, Introduction to the Theory of Statistics, Tata McGraw-Hill, New Delhi (ISBN 0070428646), p. 564 
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