Théorème de König-Huygens

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En statistiques et en théorie des probabilités, le théorème de König-Huygens est une identité remarquable reliant la variance et la moyenne.

Énoncé en probabilités[modifier | modifier le code]

Le théorème de König-Huygens énonce de la façon suivante :

Théorème — Pour toute variable aléatoire réelle X, on a :

\operatorname{Var}(X)\equiv E\bigl[(X-E[X])^2\bigr]=E[X^2]-E[X]^2.

Énoncé en statistiques[modifier | modifier le code]

Ce théorème peut également s'appliquer pour une décomposition de la formule de la variance empirique:

Théorème — On a : \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \left( x_i - \overline{x}\right)^2 
 = \left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i^2\right) - \overline{x}^2

Généralisation[modifier | modifier le code]

Cette formulation est en fait un cas particulier d'une identité plus générale:

Identité — On a : \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(X_i-a)^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(X_i -\bar X)^2+(\bar X -a)^2

Remarque  :

En passant le deuxième terme de droite à gauche et en prenant a=0 on retrouve la formule de la variance montrée plus haut:

\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(X_i -\bar X)^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(X_i-a)^2-(\bar X -a)^2

Et donc si  a=0: \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(X_i -\bar X)^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(X_i)^2-(\bar X)^2

Relation avec la fonction de Leibniz[modifier | modifier le code]

Ce théorème est un cas particulier de simplification de la fonction scalaire de Leibniz concernant des barycentres.

En effet, la moyenne m est le barycentre du système pondéré  \{(x_i, n_i)\}_{i = 1 ... k}. La simplification de la fonction scalaire de Leibniz donne pour le système \{(A_i, a_i)_{i = 1 ... k}\} de barycentre G :

\sum_{i = 1}^k a_i AA_i^2 = \sum_{i = 1}^k a_i GA_i^2  +\left( \sum_{i = 1}^k a_i\right) GA^2

En remplaçant G par m, A par m', a_i par n_i et A_i par x_i, on obtient

\sum_{i = 1}^k n_i (x_i - m')^2 = \sum_{i = 1}^k n_i (x_i - m)^2  + n (m' - m)^2

Ce qui est, à un facteur n près et à l'ordre près, la formule précédente.

Énoncé en mécanique (Théorème d'Huygens)[modifier | modifier le code]

Soit un système de k points matériels A_i, de masses respectives m_i, de masse totale M, de centre de masse G et un point A distant de d du point G. Le théorème de transport ou théorème de Huygens ou théorème de Steiner donne J_A le moment d'inertie du système par rapport à A en fonction de J_G le moment d'inertie du système par rapport à G :

J_A=J_G+M\cdot d^2

avec

J_A=\sum_{i = 1}^k m_i AA_i^2,\quad J_G=\sum_{i = 1}^k m_i GA_i^2,\quad M=\sum_{i = 1}^k m_i,\quad d^2= GA^2.

Référence[modifier | modifier le code]

(en) Alexander M. Mood, Franklin A. Graybill et Duane C. Boes, Introduction to the Theory of Statistics, New Delhi, Tata McGraw-Hill,‎ 2001 (ISBN 978-0-07-042864-5, LCCN 73000292), p. 564