Théorème de Jordan-Schur

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En mathématiques, le théorème de Jordan-Schur, ou « théorème de Jordan pour les groupes linéaires finis[1] », est un théorème de structure sur les sous-groupes des groupes linéaires complexes.

Énoncés[modifier | modifier le code]

La forme originelle, due à Camille Jordan, établit[2] qu'il existe une fonction F telle que pour tout sous-groupe fini G du groupe linéaire GL(n, ℂ), il existe un sous-groupe normal de G, abélien et d'indice inférieur ou égal à F(n).

Issai Schur a étendu ce résultat aux sous-groupes G non nécessairement finis mais seulement de torsion – comparer avec un résultat antérieur de Burnside quand l'exposant de G est fini – et a montré que F(n) pouvait être pris égal à[2]

(8n + 1)2n2 – (8n – 1)2n2.

Progrès[modifier | modifier le code]

Pour G fini (et n ≥ 3), un majorant plus fin est dû à Andreas Speiser (de)[2],[3] :

F(n) = n! 12n(π(n+1) + 1),

π(x) est le nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à x. Il a été amélioré par Hans Blichfeldt (de), qui a réussi à remplacer le « 12 » par un « 6 ». Des travaux non publiés sur le cas fini ont aussi été effectués par Boris Weisfeiler (en)[4].

Par la suite, Michael Collins, en utilisant la classification des groupes finis simples, a montré que dans le cas fini, on peut prendre F(n)) = (n + 1)! si n ≥ 71, et a donné des descriptions presque complètes de la situation pour les valeurs de n plus petites.

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Jordan–Schur theorem » (voir la liste des auteurs)

  1. (en) Ben Green, Analytic Topics in Group Theory, chap. 2
  2. a, b et c (en) Charles Curtis et Irving Reiner, Representation Theory of Finite Groups and Associated Algebras, John Wiley & Sons,‎ 1962 (lire en ligne), p. 258-262
  3. (de) Andreas Speiser, Die Theorie der Gruppen von endlicher Ordnung, Dover,‎ 1945, p. 216-220
  4. (en) Michael J. Collins, « On Jordan’s theorem for complex linear groups », Journal of Group Theory, vol. 10, no 4,‎ 2007, p. 411-423 (lien DOI?)