Théorème de Hirzebruch-Riemann-Roch

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En mathématiques, le théorème de Hirzebruch-Riemann-Roch, du nom de Friedrich Hirzebruch, Bernhard Riemann et Gustav Roch, est un résultat démontré par Hirzebruch en 1954 donnant une réponse au problème de Riemann-Roch pour les variétés algébriques complexes en toutes dimensions. Ce fut la première généralisation du théorème de Riemann-Roch classique pour les surfaces de Riemann, avant le théorème de Grothendieck-Hirzebruch-Riemann-Roch démontré trois ans plus tard.

Énoncé[modifier | modifier le code]

Le théorème de Hirzebruch-Riemann-Roch s'applique à tout fibré vectoriel holomorphe E sur une variété complexe compacte X, pour calculer la caractéristique d'Euler holomorphe de E,c'est-à-dire

 \chi(X,E) = \sum_{i=0}^{\dim_{\mathbb{C}} X} (-1)^{i} \dim_{\mathbb{C}} H^{i}(X,E)

Le théorème exprime χ(X, E) en fonction des classes de Chern Cj(E) de E, et des polynômes de Todd Tj en les classes de Chern du fibré tangent holomorphe de X. Il s'agit d'éléments de l'anneau de cohomologie de X; en utilisant la classe fondamentale (en) (c'est-à-dire, l'intégration sur X) on peut les considérer comme des nombres. Voici donc le théorème de Riemann-Roch-Hirzebruch :

 \chi(X,E) = \sum_{j=0}^n \operatorname{ch}_{n-j}(E) \frac{T_{j}}{j!},

ch(E) désignant le caractère de Chern en cohomologie

\operatorname{ch}(E) = \sum \exp(x_{i}).

On peut donc refomuler le théorème comme suit :

 \chi(X,E) = \int_X \operatorname{ch}(E) \operatorname{td}(X)

td(X) est la classe de Todd du fibré tangent à X.

Référence[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Hirzebruch–Riemann–Roch theorem » (voir la liste des auteurs)