Théorème de Heine

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Le théorème de Heine, nommé ainsi en l'honneur de Édouard Heine, s'énonce ainsi : Soit deux espaces métriques X et Y, tel que X soit également compact. Alors toute application continue de X dans Y est uniformément continue. Cela implique notamment que toute fonction continue de $I = [a, b]$ dans $\mathbb R$ est uniformément continue sur $I$ .

Sommaire

1 Enoncé et démonstration pour les fonctions numériques
- 1.1 Enoncé
- 1.2 Démonstration
2 Démonstration dans le cas général en utilisant la propriété de Bolzano-Weierstrass

[modifier] Enoncé et démonstration pour les fonctions numériques

[modifier] Enoncé

Soit f une fonction continue de [a,b] dans R. Elle est continue en tout point x, et nous savons donc que

$\forall x \in [a,b] \forall \epsilon > 0, \exists \alpha_{x\epsilon} > 0$ tel que $\forall x' \in [a,b] |x-x'|<\alpha_{x\epsilon} \Rightarrow |f(x)-f(x')|<\epsilon$

Le theoreme de Heine exprime que la fonction est alors uniformement continue en $x$ sur $[a, b]$ , c'est à dire que le $α$ peut etre choisi independamment de $x$ , ce qui nous permet d'inverser les deux quantificateurs $\forall x \in [a,b] \exists \alpha_x$ en $\exists \alpha \forall x \in [a,b]$ .

La propriété d'uniforme continuité s'exprime alors :

$\forall \epsilon > 0, \exists \alpha_\epsilon > 0 / \forall x \in [a,b] \forall x' \in [a,b] |x-x'|<\alpha_\epsilon \Rightarrow |f(x)-f(x')|<\epsilon$

[modifier] Démonstration

En prenant les definition de $α x ε$ , on considere $[a,b] \subset \cup_{x\in[ab]} \{x\} \subset \cup B(x, \alpha_{x\epsilon} / 2)$ . c'est un recouvrement de $[a, b]$ , et d'apres le Théorème de Borel-Lebesgue on peut en selectionner un nombre fini I qui recouvre aussi $[a, b]$ .

Alors, si l'on prend $x, y / |x-y| < \frac{1}{2} min_{i \in I} \alpha_{x_i}$ il existe un $x_i / x \in B(x_i, \alpha_{x_i\epsilon} /2 )$ et $|y - x_i| < d(y,x) + d(x,x_i) < \frac{1}{2} min_{i \in I} \alpha_{x_i} + \alpha_{x_i\epsilon} /2 < \alpha_{x_i\epsilon}$ et donc

$| f (x) - f (y) | < | f (x) - f (x i) | + | f (x i) - f (y) | < ε + ε$

la valeur trouvée etant bien independante de x, l'unniforme continuité est demontrée.

[modifier] Démonstration dans le cas général en utilisant la propriété de Bolzano-Weierstrass

On se place dans le cas général de deux espaces métriques X et Y avec X compact. On note d la distance sur X et d' la distance sur Y. Le théorème de Heine nous dit alors toute application continue de X dans Y est uniformément continue, ce qui s'exprime par :

$\forall \epsilon > 0, \exists \alpha >0$ tel que $\forall (a,b) \in X, d(a,b)<\alpha \Rightarrow d'(f(a),f(b))<\epsilon$

Pour montrer cela, on raisonne par l'absurde en considérant f continue sur X mais non uniforménent continue. Alors, on sait qu'il existe $ε > 0$ tel que pour chaque $\scriptstyle \alpha=\frac{1}{n}$ , on peut trouver deux points $a n$ et $b n$ de X avec :

$d(a_n,b_n)<\frac{1}{n}$ et $d'(f(a_n),f(b_n))>\epsilon\,$ .

La suite $(a n)$ est à valeurs dans le compact X donc on peut en extraire une sous-suite convergente. On note $\phi\,$ l'extraction et $a\,$ la limite de la sous-suite. La relation $d(a_{\phi(n)},b_{\phi(n)})<\frac{1}{\phi(n)}$ montre que $(b φ(n))$ est aussi convergente de limite $a\,$ .