Théorème de Heine

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Le théorème de Heine, nommé ainsi en l'honneur de Eduard Heine, s'énonce ainsi : toute application continue d'un espace métrique compact dans un espace métrique quelconque est uniformément continue. Cela implique notamment que toute fonction continue d'un segment [a, b] dans est uniformément continue.

Énoncé et démonstration pour les fonctions numériques[modifier | modifier le code]

Énoncé[modifier | modifier le code]

Théorème — Toute application continue d'un segment [a, b] dans ℝ est uniformément continue.

Utilisation[modifier | modifier le code]

L'application, notée f, étant continue en tout point x, nous savons que :

\forall x \in [a,b], \forall \varepsilon > 0, \exists\eta_{x,\varepsilon} > 0\quad\text{tel que}\quad\forall y \in [a,b], |x-y|<\eta_{x,\varepsilon} \Rightarrow |f(x)-f(y)|<\varepsilon.

Le théorème de Heine permet d'affirmer plus : elle est uniformément continue, c'est-à-dire que η peut être choisi indépendamment de x, ce qui nous permet d'inverser les deux quantificateurs :

\forall x\in[a,b],\exists\eta_x\quad\text{en}\quad\exists\eta,\forall x\in[a,b].

L'uniforme continuité de f s'exprime en effet par :

\forall\varepsilon>0,\exists\eta_\varepsilon>0\quad\text{tel que}\quad\forall x\in[a,b],\forall y\in[a,b],|x-y|<\eta_\varepsilon\Rightarrow|f(x)-f(y)|<\varepsilon.

Démonstration[modifier | modifier le code]

On note d(x, y) = |x – y| et B(x, ε) = ]x – ε, x + ε[.

Fixons un ε > 0 et posons, pour tout x\in[a,b], \beta_{x,\varepsilon}=\frac12\eta_{x,\varepsilon/2} (où les \eta_{x,\varepsilon/2} sont donnés par la continuité de f).

La famille d'ouverts \Big(B(x,\beta_{x,\varepsilon})\Big)_{x\in[a,b]} est un recouvrement de [a, b]. D'après le théorème de Borel-Lebesgue, on peut en extraire un sous-recouvrement fini : [a,b]\subset\cup_{z\in Z}B(z,\beta_{z,\varepsilon}) pour une certaine partie finie Z de [a, b].

Posons \eta=\eta_\varepsilon=\min_{z\in Z}\beta_{z,\varepsilon}. Alors, pour tous x,y\in[a,b] tels que d(x,y)<\eta, en choisissant un z\in Z tel que x \in B(z,\beta_{z,\varepsilon}) on obtient :

d(x,z)<\beta_{z,\varepsilon}\text{ et }d(y,z)\le d(y,x)+d(x,z)<\eta+\beta_{z,\varepsilon}\le2\beta_{z,\varepsilon}=\eta_{z,\varepsilon/2}

donc

d(f(x),f(y))\leq d(f(x),f(z))+d(f(z),f(y))<\varepsilon/2+\varepsilon/2=\varepsilon.

La valeur η trouvée étant bien indépendante de x, l'uniforme continuité est démontrée.

Énoncé et démonstrations dans le cas général[modifier | modifier le code]

Énoncé[modifier | modifier le code]

Théorème — Soient X un espace métrique compact et Y un espace métrique. Toute application continue de X dans Y est uniformément continue.

On note f l'application, d la distance sur X et d' la distance sur Y. L'uniforme continuité de f s'exprime alors par :

\forall\varepsilon>0,\exists\eta>0\quad\text{tel que}\quad\forall a,b\in X,d(a,b)<\eta\Rightarrow d'(f(a),f(b))<\varepsilon.

Démonstration directe[modifier | modifier le code]

On peut reproduire la démonstration précédente en remplaçant simplement [a, b] par X, ℝ par Y, théorème de Borel-Lebesgue par définition de la compacité (ou même directement par précompacité), et valeur absolue de la différence par distance.

Démonstration par la propriété de Bolzano-Weierstrass[modifier | modifier le code]

Une autre méthode est de raisonner par contraposée, en supposant f non uniformément continue et en prouvant qu'elle n'est alors pas continue en tout point de X. Par hypothèse, il existe ε > 0 tel que tout η > 0, l'implication d(a,b)<\eta\Rightarrow d'(f(a),f(b))<\varepsilon soit fausse pour certains a, b, en particulier tel que pour tout entier n > 0, il existe deux points a_n et b_n de X tels que

 d(a_n,b_n)<\frac1n\text{ et }d'(f(a_n),f(b_n))\ge\varepsilon.

La suite (a_n) est à valeurs dans le compact X donc on peut en extraire une sous-suite convergente. On note φ l'extractrice et a la limite de la sous-suite. La relation  d(a_{\varphi(n)},b_{\varphi(n)})<\frac1{\varphi(n)} montre que  (b_{\varphi(n)}) converge aussi vers a. Il s'ensuit que pour tout η > 0, il existe x,y\in B(a,\eta)\text{ tels que }d'(f(x),f(y))\ge\varepsilon donc tels que d'(f(x),f(a))\ge\varepsilon/2\text{ ou }d'(f(y),f(a))\ge\varepsilon/2, ce qui prouve la non-continuité de f au point a.

Démonstration par le théorème des bornes[modifier | modifier le code]

Par « théorème des bornes » on entend ici la version générale suivante du théorème des bornes usuel :

Toute application continue d'un compact non vide dans ℝ atteint sa borne inférieure (et sa borne supérieure).

Pour tout ε > 0, en appliquant ce théorème au compact

K:=\{(x,y)\in X\times X\mid d'(f(x),f(y))\ge\varepsilon\},

et à l'application d, on obtient, si K est non vide, un η vérifiant la propriété voulue :

\eta:=\inf d(K)>0.

(Si K est vide, on peut choisir η arbitrairement.)

Articles connexes[modifier | modifier le code]