Théorème de Hasse

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En mathématiques, le théorème de Hasse sur les courbes elliptiques limite le nombre de points d'une courbe elliptique sur un corps fini, au-dessus et en dessous.

Si N est le nombre de points d'une courbe elliptique E sur un corps fini à q éléments, alors le résultat d'Helmut Hasse énonce que

|N - (q+1)| \le 2 \sqrt{q}.

Ceci a été une conjecture d'Emil Artin. Ceci est équivalent à la détermination de la valeur absolue des racines des fonctions zeta locales de E.

L'interpretation est la suivante : N diffère de q + 1, le nombre de points de la droite projective sur le même corps, par un 'terme d'erreur' qui est la somme de deux nombres complexes, chacun de valeur absolue \sqrt{q}\,.

En fixant N = 0, on trouve

(\sqrt{q}-1)^2 \leq 0

ce qui ne peut pas arriver, puisque q > 1. Par conséquent, N > 0 et il existe toujours au moins un point.

Voir aussi[modifier | modifier le code]