Théorème de Hartman-Grobman

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En mathématiques, dans l'étude des systèmes dynamiques, le théorème de Hartman-Grobman ou théorème de linéarisation est un théorème important concernant le comportement local des systèmes dynamiques au voisinage d'un point d'équilibre hyperbolique.

Essentiellement, ce théorème énonce qu'un système dynamique, au voisinage d'un équilibre hyperbolique, se comporte qualitativement de la même manière que le système linéarisé au voisinage de l'origine. Par conséquent, lorsque l'on est en présence d'un tel système, on utilise plutôt la linéarisation, plus facile à analyser, pour étudier son comportement.

Théorème de Hartman-Grobman[modifier | modifier le code]

Soit

f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n

une fonction de classe \mathcal{C}^1 possédant un zéro p. Soit

A=\begin{pmatrix}
\frac{\partial f_1(p)}{\partial x_1} & \frac{\partial f_1(p)}{\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial f_1(p)}{\partial x_n}\\
\frac{\partial f_2(p)}{\partial x_1} & \frac{\partial f_2(p)}{\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial f_2(p)}{\partial x_n}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
\frac{\partial f_n(p)}{\partial x_1} & \frac{\partial f_n(p)}{\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial f_n(p)}{\partial x_n}\\
\end{pmatrix}

la matrice jacobienne de f au point p. On suppose que p est un point d'équilibre hyperbolique, c'est-à-dire qu'aucune valeur propre de A n'a sa partie réelle nulle. Alors, il existe deux ouverts U et V de \mathbb{R}^n contenant respectivement p et 0, et un homéomorphisme

h : U \to V

tel que

h(p)=0,\,

et qui envoie les trajectoires de x'(t)=f(x(t)) bijectivement sur les trajectoires de y'(t)=Ay(t) dans V = h(U) en gardant l'orientation donnée par le temps t. On dit alors que les flots de f et A sont topologiquement équivalents[1],[2],[3],[4].

Exemple[modifier | modifier le code]

Considérons le système dynamique suivant :

(1)\begin{cases} x'&= x(1-\frac{x}{2}) -xy\\ y'&=xy-y \end{cases}

ou

\begin{cases} x'&= f_1(x,y)\\ y'&=f_2(x,y) \end{cases}

avec

\begin{cases} f_1(x,y)&= x(1-\frac{x}{2}) -xy\\ f_2(x,y)&=xy-y \end{cases}

Ce système admet trois équilibres : (0, 0), (2, 0) et (1, 1/2). On va étudier le comportement des trajectoires de ce système autour de l'équilibre (2, 0).

Pour cela, on calcule A la différentielle de f en (2, 0).

A=\begin{pmatrix}
-1 & -2\\
0 & 1\\
\end{pmatrix}

Les valeurs propres de A sont –1 et 1, l'équilibre (2, 0) est donc hyperbolique. Concernant le comportement du système linéaire, l'étude du portrait de phase nous indique que l'équilibre est un point-selle, voir figure 1. L'utilisation du théorème de linéarisation nous indique qu'au voisinage de (2, 0), le système (1) se comporte de la même manière, voir figure 2.

Figure 1: Portrait des phase du système linéarisé.
Figure 2 :Portrait des phase du système (1).

Références[modifier | modifier le code]

  1. (en) D. M. Grobman, « О гомеоморфизме систем дифференциальных уравнений », Doklady Akademii Nauk SSSR, vol. 128,‎ 1959, p. 880-881.
  2. (en) Philip Hartman (de), « A lemma in the theory of structural stability of differential equations », Proc. A.M.S., vol. 11, n° 4, 1960, p. 610-620 DOI:10.2307/2034720.
  3. (en) P. Hartman, « On local homeomorphisms of Euclidean spaces », Bol. Soc. Math. Mexicana, vol. 5,‎ 1960, p. 220-241.
  4. T. Sari, Introduction aux systèmes dynamiques et applications à un modèle cosmologique.

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Hartman–Grobman theorem » (voir la liste des auteurs)