Théorème de Gromov sur les groupes à croissance polynomiale

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En théorie géométrique des groupes, le théorème de Gromov sur les groupes à croissance polynomiale est un théorème, nommé d'après le mathématicien russe Mikhaïl Gromov, caractérisant les groupes de type fini à croissance polynomiale comme ceux possédant un sous-groupe nilpotent d'indice fini.

La croissance d'un groupe de type fini est une notion de géométrie asymptotique qui quantifie le volume d'une boule de rayon n lorsque n tend vers l'infini. Un groupe G de type fini est dit à croissance polynomiale lorsque, si l'on fixe une partie génératrice symétrique (i.e. stable par passage à l'inverse) \mathit{F} de G, il existe deux réels strictement positifs c,d tels que toute boule (pour la distance des mots par rapport à la partie \mathit{F}) de rayon n a un volume borné par cn^d. Cette définition dépend a priori de la partie génératrice choisie, mais on peut montrer[1] que s'il existe un couple (c,d) qui convient pour \mathit{F}, alors pour toute autre partie génératrice symétrique il existe c' > 0 tel que le couple (c',d) convient. Le degré de croissance polynomiale de G est alors défini comme l'infimum des réels d apparaissant dans une telle majoration.

Un groupe est dit nilpotent lorsque sa suite centrale descendante stationne au sous-groupe trivial. Le théorème de Gromov sur les groupes à croissance polynomiale s'énonce ainsi :

Théorème — Un groupe de type fini est à croissance polynomiale si et seulement s'il possède un sous-groupe nilpotent d'indice fini.

Joseph A. Wolf a montré que les groupes nilpotents de type fini sont à croissance polynomiale. La réciproque a été démontrée par Gromov en utilisant une notion de convergence pour les espaces métriques, la distance de Gromov-Hausdorff (en), maintenant largement utilisée en géométrie[2].

Terence Tao et Yehuda Shalom, s'appuyant sur une preuve de Kleiner (en) qui simplifiait la démonstration de Gromov, ont fourni une preuve élémentaire (compréhensible par un élève en fin de licence de mathématiques) ainsi qu'une version du théorème dite quantitative, avec des constantes explicites portant sur l'indice fini du sous-groupe nilpotent dont on affirme l'existence et sur le degré de croissance polynomiale – en particulier, cette notion asymptotique est ramenée à la vérification du volume d'une certaine boule de rayon explicité[3],[4].

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Jacques Tits, « Groupes à croissance polynomiale », Séminaire Bourbaki, no 572,‎ 1980-81, p. 176-188 (lire en ligne)
  2. Frédéric Paulin, « Une introduction à la convergence d’espaces métriques mesurés »
  3. Terence Tao, « A proof of Gromov’s theorem »
  4. Terence Tao, « A finitary version of Gromov’s polynomial growth theorem »
  • Yves Guivarc'h, « Groupes de Lie à croissance polynomiale », CRAS, vol. 271,‎ 1970, p. 237-239
  • Yves Guivarc'h, « Croissance polynomiale et périodes des fonctions harmoniques », Bull. SMF, vol. 101,‎ 1973, p. 333-379 (lire en ligne)
  • (en) Michael Gromov, « Groups of polynomial growth and expanding maps (with an appendix by Jacques Tits) », Publ. Math. IHES, vol. 53,‎ 1981, p. 53-78 (lire en ligne)