Théorème de F. et M. Riesz

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En mathématiques, le théorème de F. et M. Riesz est un résultat des deux frères Frigyes Riesz et Marcel Riesz sur les mesures analytiques, selon lequel pour une mesure complexe (en) μ sur le cercle, toute partie de μ qui n'est pas absolument continue par rapport à la mesure de Lebesgue dθ peut être détectée à l'aide des coefficients de Fourier.

Plus précisément, il établit que si les coefficients de Fourier-Stieltjes de μ,

\hat\mu_n=\int_{[0,2\pi]}{\rm e}^{-in\theta}~\frac{\mathrm d\mu(\theta)}{2\pi},

sont nuls pour tous les indices n<0, alors μ est absolument continue par rapport à dθ.

Les énoncés originaux sont assez différents[1]. Cette formulation-ci est celle de Rudin[2], dont la preuve utilise le noyau de Poisson et l'existence de valeurs au bord pour l'espace de Hardy H1.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. (en) A. Zygmund, Trigonometric Series, VII.8
  2. Walter Rudin, Analyse réelle et complexe [détail des éditions], Masson, p. 323
  • (de) F. et M. Riesz, « Über die Randwerte einer analytischen Funktion », dans Quatrième congrès des mathématiciens scandinaves, Stockholm, 1916, p. 27-44