Théorème de de Moivre-Laplace

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Une planche de Galton illustre le fait que la loi binomiale tend vers la loi normale.

En probabilités, selon le théorème de de Moivre-Laplace, si la variable X_n suit une loi binomiale d'ordre n et de paramètre p\in]0,1[, alors la variable

Z_n = \frac{X_n-np}{\sqrt{np(1-p)}}

converge en loi vers une loi normale centrée et réduite \mathcal{N}(0,1).

Abraham de Moivre fut le premier à l’établir dans le cas particulier p = \frac 1 2 en 1733, tandis que Laplace a pu le généraliser pour toute valeur de p en 1812. Il s'agit d'un cas particulier du théorème central limite.

Démonstration[modifier | modifier le code]

Application[modifier | modifier le code]

Autrement dit, si X_n suit une loi binomiale de paramètres n et p et si \Phi est la fonction de répartition de \mathcal{N}(0,1) alors, pour tout réel t, on a :

\lim_{n\to\infty}\operatorname{P} \left(\frac{X_n- np}{\sqrt{npq}}\leq t \right) = \Phi(t)

ce qui signifie que, pour n assez grand,

\operatorname{P} \left(\frac{X_n- np}{\sqrt{npq}}\leq t \right) \approx \Phi(t)

ce qui donne, en posant t=\frac{x- np}{\sqrt{npq}}, l'approximation suivante pour la probabilité d'avoir au plus x succès :

\operatorname{P}(X_n \le x) \approx\Phi \left(\frac{x - np}{\sqrt{np(1-p)}} \right)

Cette approximation est bonne en général pour np(1-p)\ge 10.

Pratiquement, il faut cependant faire attention au fait que les variables X_n sont discrètes. Graphiquement, cela se traduit par le fait que les extrémités des bâtons du diagramme de la loi binomiale X_n \sim \mathcal{B}(n,\, p) sont proches de la courbe de densité de la loi normale \mathcal{N}(np,\sqrt{npq}). On peut obtenir une valeur approchée de \mathrm{P}(X_n = x) par le calcul de la surface sous la courbe de densité comprise entre les droites d'abscisse x - \frac 1 2 et x + \frac 1 2.

\operatorname{P}(X_n = x)\approx\operatorname{P}\left(\frac{x-\frac{1}{2}-np}{\sqrt{npq}} \le N \le \frac{x+\frac{1}{2}-np}{\sqrt{npq}}\right)
\operatorname{P}(X_n \leq x)\approx\operatorname{P}\left(N \le \frac{x+\frac{1}{2}-np}{\sqrt{npq}}\right)

On appelle cette procédure la « correction de continuité ».

Exemple[modifier | modifier le code]

X_n \sim \mathcal{B}(50,\, 0{,}3) ; np = 15 ; nq = 35

D'après les tables, la valeur exacte pour \mathrm{P}(X_n = 10) = 0{,}038\,619.

La formule d'approximation avec une loi \mathcal{N}(np,\sqrt{npq}) = \mathcal{N}(15,\sqrt{10{,}5}) donne le résultat :

\operatorname{P}\left(\frac{9{,}5-15}{\sqrt{10{,}5}} \le N \le \frac{10{,}5-15}{\sqrt{10{,}5}}\right)

soit

\operatorname{P}(-1{,}7 \le N \le -1{,}39) = \operatorname{P}( 1,39 \le N \le 1{,}7) = 0{,}955\,4-0{,}917\,7 = 0{,}037\,7

L'erreur d'approximation est faible.

Pour \mathrm{P}(X_n \leq 10) = 0{,}078\,9, l'approximation usuelle fournit

\mathrm{P}( N \le -1{,}39)=\mathrm{P}( N \ge 1{,}39)=1-\mathrm{P}( N \le 1{,}39) = 0{,}082\,3

Si nous n'avions pas corrigé la continuité de l'approximation nous aurions eu :

\operatorname{P}\left(N \leq \frac{10-15}{\sqrt{10{,}5}}\right) = \operatorname{P}(N \leq -1{,}54)= 1-\operatorname{P}(N \leq 1{,}54)= 0{,}061\,8

Cette dernière valeur est assez imprécise.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Lien externe[modifier | modifier le code]

  • Denis Lantier, Didier Trotoux, La loi des grands nombres: le théorème de de Moivre-Laplace, Contribution à une approche historique de l'enseignement des mathématiques, collection Les publications de l'IREM de Besançon, ISBN 2-909963-136, p. 259-294, Lire en ligne