Théorème de Bernstein sur les fonctions monotones

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En analyse fonctionnelle, une branche des mathématiques, le théorème de Bernstein, établit que toute fonction à valeurs réelles sur la demi-droite [0, ∞) qui est totalement monotone est une combinaison (dans un cas important, une moyenne pondérée ou une espérance mathématique) d'exponentielles.

La monotonie totale (on dit aussi complète) d'une fonction f signifie que la relation :

(-1)^n{\mathrm d^n \over\mathrm dt^n} f(t) \geq 0

est vérifée pour tous les entiers naturels n et tous les réels t ≥ 0. La moyenne pondérée peut alors être caractérisée : il existe une mesure de Borel positive ou nulle sur [0, ∞), avec une fonction de répartition g telle que :

f(t) = \int_0^\infty e^{-tx}~\mathrm dg(x),

l'intégrale étant une intégrale de Stieltjes.

Dans un langage plus abstrait, le théorème caractérise les transformées de Laplace des mesures de Borel positives sur [0,∞). Sous cette forme, il est connu sous le nom de théorème de Bernstein-Widder, ou de Hausdorff-Bernstein-Widder. Hausdorff, dans sa solution au problème des moments, avait déjà caractérisé les suites complètement monotones.

Références[modifier | modifier le code]

Lien externe[modifier | modifier le code]

(en) Eric W. Weisstein, « Completely Monotonic Function », MathWorld